五年级上册小数除法思维导图

# 《五年级上册小数除法思维导图》

## 中心主题：小数除法

### 一、 意义理解

*   **1.1 基本概念：**
    *   与整数除法意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
    *   扩展：除数可以是小数。
*   **1.2 应用场景：**
    *   平均分问题：将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。
    *   包含除问题：求一个数里面包含多少个另一个数。
    *   求一个数是另一个数的几倍。
*   **1.3 注意事项：**
    *   明确除数和被除数，谁是被分的，谁是用来分的。
    *   结合实际情况判断结果的合理性。

### 二、 计算法则

*   **2.1 除数是整数的小数除法:**
    *   **步骤：**
        1.  按照整数除法的法则去除。
        2.  商的小数点要和被除数的小数点对齐。
        3.  整数部分不够除，商 0，点上小数点。
        4.  如果有余数，要添 0 再除。
    *   **特殊情况：**
        *   被除数整数部分比除数小，商0.
        *   除到被除数的末尾仍有余数，需要在余数后面添0继续除。
*   **2.2 除数是小数的小数除法:**
    *   **核心转化：**
        *   利用商不变的性质，将除数转化为整数。
        *   **商不变性质:** 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
    *   **步骤：**
        1.  移动除数的小数点，使它变成整数。移动多少位，被除数的小数点也移动相同的位数。（位数不够时，在被除数末尾用 0 补足）
        2.  按照除数是整数的除法进行计算。
    *   **关键点：**
        *   明确小数点移动的方向和位数。
        *   注意补 0 的情况。
*   **2.3 混合运算：**
    *   运算顺序：与整数四则混合运算顺序相同，先乘除，后加减，有括号先算括号里。
    *   简便计算：可以运用运算定律进行简便计算。
        *   乘法分配律在小数除法中的应用（变形）。
*   **2.4 循环小数：**
    *   定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
    *   表示方法：
        *   用省略号表示。
        *   用循环节上方加点或加线的方式表示。
    *   循环节：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
    *   分类：
        *   纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
        *   混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
    *   近似数：
        *   用“四舍五入”法取循环小数的近似值，要注意保留位数的要求。
*   **2.5 估算：**
    *   将小数转化成接近的整数进行估算。
    *   培养估算意识，检验计算结果的合理性。

### 三、 商的变化规律

*   **3.1 被除数不变，除数扩大/缩小，商反而缩小/扩大相同的倍数。**
*   **3.2 除数不变，被除数扩大/缩小，商也扩大/缩小相同的倍数。**
*   **3.3 被除数和除数同时扩大/缩小相同的倍数，商不变。**
*   **3.4 重要应用：** 灵活运用商的变化规律进行简便计算和解决实际问题。
    *   例如： 4.8 ÷ 0.8 = (4.8 × 10) ÷ (0.8 × 10) = 48 ÷ 8 = 6

### 四、 解决问题

*   **4.1 数量关系：**
    *   单价×数量=总价
    *   总价÷数量=单价
    *   总价÷单价=数量
    *   速度×时间=路程
    *   路程÷时间=速度
    *   路程÷速度=时间
*   **4.2 策略：**
    *   认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
    *   分析数量关系，确定解题思路。
    *   列式计算，注意单位名称。
    *   验算答案，检查是否符合题意。
*   **4.3 类型：**
    *   归一问题：先求出一份的数量，再求出总数量。
    *   归总问题：先求出总数量，再求出每份的数量。
    *   连除问题：需要连续除以两个或多个数的问题。
    *   根据实际情况取近似值：例如，进一法（需要准备多少材料），去尾法（可以做多少个）。
    *   解决与生活相关的实际问题，例如：购物问题，行程问题，工作效率问题等。
*   **4.4 注意事项：**
    *   根据实际情况，有时需要用“四舍五入”法、“进一法”或“去尾法”取商的近似值。
    *   要认真检查计算过程和结果，确保答案的准确性。

### 五、 易错点分析

*   **5.1 小数点位置：** 小数点对齐错误，导致计算结果错误。
*   **5.2 添0问题：**  被除数末尾添0和商中间添0，容易遗漏。
*   **5.3 商不变性质：**  忘记同时扩大或缩小相同的倍数，只移动了除数的小数点，而没有移动被除数的小数点。
*   **5.4 近似值选择：**  不理解题意，错误选择“四舍五入”、“进一法”或“去尾法”。
*   **5.5 单位转换：**  在解决实际问题时，忽略单位的统一，导致计算错误。

### 六、 拓展延伸

*   **6.1 较复杂的小数除法计算：** 提升计算能力。
*   **6.2 小数除法与方程的结合：**  利用小数除法解决方程问题。
*   **6.3 培养数感：** 通过大量的练习，培养对小数除法的数感，提高解决问题的能力。

### 七、学习方法建议

*   **7.1 扎实掌握基础知识：** 理解小数除法的意义和计算法则。
*   **7.2 多练习：** 通过大量的练习，巩固所学知识，提高计算能力。
*   **7.3 总结归纳：**  及时总结归纳，整理错题，避免重复犯错。
*   **7.4 善于思考：**  遇到难题，要积极思考，尝试用不同的方法解决问题。
*   **7.5 合作交流：**  与同学合作交流，互相学习，共同进步。

# 《五年级上册小数除法思维导图》 ## 中心主题：小数除法 ### 一、意义理解 * **1.1 基本概念：** * 与整数除法意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 * 扩展：除数可以是小数。 * **1.2 应用场景：** * 平均分问题：将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。 * 包含除问题：求一个数里面包含多少个另一个数。 * 求一个数是另一个数的几倍。 * **1.3 注意事项：** * 明确除数和被除数，谁是被分的，谁是用来分的。 * 结合实际情况判断结果的合理性。 ### 二、计算法则 * **2.1 除数是整数的小数除法:** * **步骤：** 1. 按照整数除法的法则去除。 2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐。 3. 整数部分不够除，商 0，点上小数点。 4. 如果有余数，要添 0 再除。 * **特殊情况：** * 被除数整数部分比除数小，商0. * 除到被除数的末尾仍有余数，需要在余数后面添0继续除。 * **2.2 除数是小数的小数除法:** * **核心转化：** * 利用商不变的性质，将除数转化为整数。 * **商不变性质:** 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。 * **步骤：** 1. 移动除数的小数点，使它变成整数。移动多少位，被除数的小数点也移动相同的位数。（位数不够时，在被除数末尾用 0 补足） 2. 按照除数是整数的除法进行计算。 * **关键点：** * 明确小数点移动的方向和位数。 * 注意补 0 的情况。 * **2.3 混合运算：** * 运算顺序：与整数四则混合运算顺序相同，先乘除，后加减，有括号先算括号里。 * 简便计算：可以运用运算定律进行简便计算。 * 乘法分配律在小数除法中的应用（变形）。 * **2.4 循环小数：** * 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 * 表示方法： * 用省略号表示。 * 用循环节上方加点或加线的方式表示。 * 循环节：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 * 分类： * 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 * 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 * 近似数： * 用“四舍五入”法取循环小数的近似值，要注意保留位数的要求。 * **2.5 估算：** * 将小数转化成接近的整数进行估算。 * 培养估算意识，检验计算结果的合理性。 ### 三、商的变化规律 * **3.1 被除数不变，除数扩大/缩小，商反而缩小/扩大相同的倍数。** * **3.2 除数不变，被除数扩大/缩小，商也扩大/缩小相同的倍数。** * **3.3 被除数和除数同时扩大/缩小相同的倍数，商不变。** * **3.4 重要应用：** 灵活运用商的变化规律进行简便计算和解决实际问题。 * 例如： 4.8 ÷ 0.8 = (4.8 × 10) ÷ (0.8 × 10) = 48 ÷ 8 = 6 ### 四、解决问题 * **4.1 数量关系：** * 单价×数量=总价 * 总价÷数量=单价 * 总价÷单价=数量 * 速度×时间=路程 * 路程÷时间=速度 * 路程÷速度=时间 * **4.2 策略：** * 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。 * 分析数量关系，确定解题思路。 * 列式计算，注意单位名称。 * 验算答案，检查是否符合题意。 * **4.3 类型：** * 归一问题：先求出一份的数量，再求出总数量。 * 归总问题：先求出总数量，再求出每份的数量。 * 连除问题：需要连续除以两个或多个数的问题。 * 根据实际情况取近似值：例如，进一法（需要准备多少材料），去尾法（可以做多少个）。 * 解决与生活相关的实际问题，例如：购物问题，行程问题，工作效率问题等。 * **4.4 注意事项：** * 根据实际情况，有时需要用“四舍五入”法、“进一法”或“去尾法”取商的近似值。 * 要认真检查计算过程和结果，确保答案的准确性。 ### 五、易错点分析 * **5.1 小数点位置：** 小数点对齐错误，导致计算结果错误。 * **5.2 添0问题：** 被除数末尾添0和商中间添0，容易遗漏。 * **5.3 商不变性质：** 忘记同时扩大或缩小相同的倍数，只移动了除数的小数点，而没有移动被除数的小数点。 * **5.4 近似值选择：** 不理解题意，错误选择“四舍五入”、“进一法”或“去尾法”。 * **5.5 单位转换：** 在解决实际问题时，忽略单位的统一，导致计算错误。 ### 六、拓展延伸 * **6.1 较复杂的小数除法计算：** 提升计算能力。 * **6.2 小数除法与方程的结合：** 利用小数除法解决方程问题。 * **6.3 培养数感：** 通过大量的练习，培养对小数除法的数感，提高解决问题的能力。 ### 七、学习方法建议 * **7.1 扎实掌握基础知识：** 理解小数除法的意义和计算法则。 * **7.2 多练习：** 通过大量的练习，巩固所学知识，提高计算能力。 * **7.3 总结归纳：** 及时总结归纳，整理错题，避免重复犯错。 * **7.4 善于思考：** 遇到难题，要积极思考，尝试用不同的方法解决问题。 * **7.5 合作交流：** 与同学合作交流，互相学习，共同进步。

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