《五年级上册小数除法思维导图》

中心主题：小数除法

一、 意义理解

• 1.1 基本概念：
  • 与整数除法意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 扩展：除数可以是小数。
• 1.2 应用场景：
  • 平均分问题：将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。
  • 包含除问题：求一个数里面包含多少个另一个数。
  • 求一个数是另一个数的几倍。
• 1.3 注意事项：
  • 明确除数和被除数，谁是被分的，谁是用来分的。
  • 结合实际情况判断结果的合理性。

二、 计算法则

• 2.1 除数是整数的小数除法:
  • 步骤：
    1. 按照整数除法的法则去除。
    2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    3. 整数部分不够除，商 0，点上小数点。
    4. 如果有余数，要添 0 再除。
  • 特殊情况：
    • 被除数整数部分比除数小，商0.
    • 除到被除数的末尾仍有余数，需要在余数后面添0继续除。
• 2.2 除数是小数的小数除法:
  • 核心转化：
    • 利用商不变的性质，将除数转化为整数。
    • 商不变性质: 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
  • 步骤：
    1. 移动除数的小数点，使它变成整数。移动多少位，被除数的小数点也移动相同的位数。（位数不够时，在被除数末尾用 0 补足）
    2. 按照除数是整数的除法进行计算。
  • 关键点：
    • 明确小数点移动的方向和位数。
    • 注意补 0 的情况。
• 2.3 混合运算：
  • 运算顺序：与整数四则混合运算顺序相同，先乘除，后加减，有括号先算括号里。
  • 简便计算：可以运用运算定律进行简便计算。
    • 乘法分配律在小数除法中的应用（变形）。
• 2.4 循环小数：
  • 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 表示方法：
    • 用省略号表示。
    • 用循环节上方加点或加线的方式表示。
  • 循环节：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 分类：
    • 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
    • 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
  • 近似数：
    • 用“四舍五入”法取循环小数的近似值，要注意保留位数的要求。
• 2.5 估算：
  • 将小数转化成接近的整数进行估算。
  • 培养估算意识，检验计算结果的合理性。

三、 商的变化规律

• 3.1 被除数不变，除数扩大/缩小，商反而缩小/扩大相同的倍数。
• 3.2 除数不变，被除数扩大/缩小，商也扩大/缩小相同的倍数。
• 3.3 被除数和除数同时扩大/缩小相同的倍数，商不变。
• 3.4 重要应用： 灵活运用商的变化规律进行简便计算和解决实际问题。
  • 例如： 4.8 ÷ 0.8 = (4.8 × 10) ÷ (0.8 × 10) = 48 ÷ 8 = 6

四、 解决问题

• 4.1 数量关系：
  • 单价×数量=总价
  • 总价÷数量=单价
  • 总价÷单价=数量
  • 速度×时间=路程
  • 路程÷时间=速度
  • 路程÷速度=时间
• 4.2 策略：
  • 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
  • 分析数量关系，确定解题思路。
  • 列式计算，注意单位名称。
  • 验算答案，检查是否符合题意。
• 4.3 类型：
  • 归一问题：先求出一份的数量，再求出总数量。
  • 归总问题：先求出总数量，再求出每份的数量。
  • 连除问题：需要连续除以两个或多个数的问题。
  • 根据实际情况取近似值：例如，进一法（需要准备多少材料），去尾法（可以做多少个）。
  • 解决与生活相关的实际问题，例如：购物问题，行程问题，工作效率问题等。
• 4.4 注意事项：
  • 根据实际情况，有时需要用“四舍五入”法、“进一法”或“去尾法”取商的近似值。
  • 要认真检查计算过程和结果，确保答案的准确性。

五、 易错点分析

• 5.1 小数点位置： 小数点对齐错误，导致计算结果错误。
• 5.2 添0问题： 被除数末尾添0和商中间添0，容易遗漏。
• 5.3 商不变性质： 忘记同时扩大或缩小相同的倍数，只移动了除数的小数点，而没有移动被除数的小数点。
• 5.4 近似值选择： 不理解题意，错误选择“四舍五入”、“进一法”或“去尾法”。
• 5.5 单位转换： 在解决实际问题时，忽略单位的统一，导致计算错误。

六、 拓展延伸

• 6.1 较复杂的小数除法计算： 提升计算能力。
• 6.2 小数除法与方程的结合： 利用小数除法解决方程问题。
• 6.3 培养数感： 通过大量的练习，培养对小数除法的数感，提高解决问题的能力。

七、学习方法建议

• 7.1 扎实掌握基础知识： 理解小数除法的意义和计算法则。
• 7.2 多练习： 通过大量的练习，巩固所学知识，提高计算能力。
• 7.3 总结归纳： 及时总结归纳，整理错题，避免重复犯错。
• 7.4 善于思考： 遇到难题，要积极思考，尝试用不同的方法解决问题。
• 7.5 合作交流： 与同学合作交流，互相学习，共同进步。