《七年级上册数学思维导图》

I. 有理数 (Rational Numbers)

• A. 概念 (Concepts)
  • 1. 正数和负数 (Positive and Negative Numbers)
       • a. 定义 (Definition): 大于0的数是正数，小于0的数是负数。
       • b. 应用 (Applications): 表示相反意义的量，如海拔、温度、盈亏等。
       • c. 零 (Zero): 既不是正数也不是负数，是正负数的分界。
  • 2. 有理数 (Rational Numbers)
       • a. 定义 (Definition): 可以表示成两个整数之比的数 (p/q, q≠0)。
       • b. 分类 (Classification):
         • i. 按定义分: 整数 (Integers) 和 分数 (Fractions)
           • (1) 整数: 正整数, 0, 负整数
           • (2) 分数: 正分数, 负分数
         • ii. 按正负分: 正有理数, 0, 负有理数
           • (1) 正有理数: 正整数, 正分数
           • (2) 负有理数: 负整数, 负分数
       • c. 数集 (Number Sets):
         • i. 整数集 (Integer Set): 所有整数的集合.
         • ii. 有理数集 (Rational Number Set): 所有有理数的集合.
• B. 数轴 (Number Line)
  • 1. 定义 (Definition): 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 2. 要素 (Elements): 原点, 正方向, 单位长度.
  • 3. 表示 (Representation): 数轴上的点与有理数一一对应。
  • 4. 应用 (Applications): 比较大小、几何意义。
• C. 绝对值 (Absolute Value)
  • 1. 定义 (Definition): 数轴上表示这个数的点与原点的距离。
  • 2. 符号表示 (Notation): |a|
  • 3. 性质 (Properties):
       • a. |a| ≥ 0
       • b. |a| = |-a|
       • c. 当 a>0 时, |a| = a; 当 a=0 时, |a| = 0; 当 a<0 时, |a| = -a
  • 4. 化简 (Simplification): 含有绝对值的表达式。
• D. 有理数的运算 (Operations with Rational Numbers)
  • 1. 加法 (Addition)
       • a. 同号相加 (Same Sign): 取相同符号，并把绝对值相加。
       • b. 异号相加 (Different Signs): 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。
       • c. 运算律 (Laws): 交换律, 结合律.
  • 2. 减法 (Subtraction)
       • a. 法则 (Rule): 减去一个数等于加上这个数的相反数。
       • b. a - b = a + (-b)
  • 3. 乘法 (Multiplication)
       • a. 法则 (Rule): 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
       • b. 运算律 (Laws): 交换律, 结合律, 分配律.
  • 4. 除法 (Division)
       • a. 法则 (Rule): 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
       • b. 注意 (Attention): 0不能做除数.
  • 5. 乘方 (Exponentiation)
       • a. 定义 (Definition): 求n个相同因数的积的运算。
       • b. 符号 (Notation): aⁿ
       • c. 幂 (Power), 底数 (Base), 指数 (Exponent).
  • 6. 混合运算 (Mixed Operations)
       • a. 运算顺序 (Order of Operations): 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；有括号，先算括号里面的。
       • b. 注意 (Attention): 符号问题，运算顺序，计算准确性。
• E. 科学计数法 (Scientific Notation)
  • 1. 定义 (Definition): 把一个大于10或小于-10的数表示成 a×10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为整数。
  • 2. n 的确定 (Determining n): n等于原数的整数位数减1.

II. 整式的加减 (Addition and Subtraction of Polynomials)

• A. 代数式 (Algebraic Expressions)
  • 1. 定义 (Definition): 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。
  • 2. 单独一个数或一个字母也是代数式.
• B. 单项式 (Monomials)
  • 1. 定义 (Definition): 由数与字母的积组成的代数式（单独一个数或一个字母也是单项式）。
  • 2. 系数 (Coefficient): 单项式中的数字因数。
  • 3. 次数 (Degree): 单项式中所有字母的指数的和。
• C. 多项式 (Polynomials)
  • 1. 定义 (Definition): 几个单项式的和。
  • 2. 项 (Terms): 多项式中的每个单项式。
  • 3. 常数项 (Constant Term): 不含字母的项。
  • 4. 次数 (Degree): 多项式中次数最高的项的次数。
• D. 整式 (Polynomials)
  • 1. 定义 (Definition): 单项式和多项式统称整式。
  • 2. 分类 (Classification): 单项式, 多项式.
• E. 同类项 (Like Terms)
  • 1. 定义 (Definition): 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
  • 2. 与系数无关，与字母顺序无关。
• F. 合并同类项 (Combining Like Terms)
  • 1. 法则 (Rule): 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
  • 2. 步骤 (Steps):
       • a. 找出同类项.
       • b. 运用加法法则合并同类项.
• G. 去括号与添括号 (Removing and Adding Parentheses)
  • 1. 去括号法则 (Rule):
       • a. 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
       • b. 括号前是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里各项都改变符号。
  • 2. 添括号法则 (Rule):
       • a. 添括号后，括号前是“+”号，括号里各项都不改变符号。
       • b. 添括号后，括号前是“–”号，括号里各项都改变符号。
• H. 整式的加减 (Addition and Subtraction of Polynomials)
  • 1. 步骤 (Steps):
       • a. 去括号.
       • b. 合并同类项.
  • 2. 本质 (Essence): 合并同类项。

III. 一元一次方程 (Linear Equations in One Variable)

• A. 方程 (Equations)
  • 1. 定义 (Definition): 含有未知数的等式。
  • 2. 方程的解 (Solution): 使方程左右两边相等的未知数的值。
• B. 一元一次方程 (Linear Equations in One Variable)
  • 1. 定义 (Definition): 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
  • 2. 标准形式 (Standard Form): ax + b = 0 (a ≠ 0)
• C. 等式的性质 (Properties of Equality)
  • 1. 性质1 (Property 1): 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
  • 2. 性质2 (Property 2): 等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。
• D. 解一元一次方程 (Solving Linear Equations in One Variable)
  • 1. 步骤 (Steps):
       • a. 去分母 (Removing Denominators): 方程两边同乘各分母的最小公倍数。
       • b. 去括号 (Removing Parentheses).
       • c. 移项 (Transposing): 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（移项要改变符号）。
       • d. 合并同类项 (Combining Like Terms).
       • e. 系数化为1 (Dividing by the Coefficient).
• E. 列方程解应用题 (Word Problems)
  • 1. 步骤 (Steps):
       • a. 审题 (Understanding the Problem): 弄清题意，找出已知量和未知量。
       • b. 设未知数 (Defining the Variable): 选择适当的未知数，并用字母表示。
       • c. 列方程 (Formulating the Equation): 根据题意，找出等量关系，列出方程。
       • d. 解方程 (Solving the Equation).
       • e. 检验并作答 (Checking and Answering): 检验方程的解是否符合题意，并写出答案。
  • 2. 常见题型 (Common Types):
       • a. 行程问题 (Distance Problems).
       • b. 工程问题 (Work Problems).
       • c. 利润问题 (Profit Problems).
       • d. 配套问题 (Matching Problems).
       • e. 数字问题 (Number Problems).