《八年级上册数学思维导图》
一、第一章：全等三角形
1. 全等三角形的性质
* **概念：** 能够完全重合的两个三角形。
* **性质：**
* 对应边相等。
* 对应角相等。
* 对应顶点的位置关系。
2. 全等三角形的判定方法
* **SSS (边边边)：** 三边对应相等的两个三角形全等。
* 条件：三条边。
* 应用：证明三角形的形状和大小完全相同。
* **SAS (边角边)：** 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
* 条件：两边和夹角。
* 应用：证明三角形在给定条件下唯一确定。
* **ASA (角边角)：** 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
* 条件：两角和夹边。
* 应用：证明三角形的位置关系，如平行、垂直等。
* **AAS (角角边)：** 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
* 条件：两角和其中一角的对边。
* 应用：证明三角形共边或共角的特殊关系。
* **HL (斜边、直角边)：** 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
* 条件：斜边和一条直角边（仅适用于直角三角形）。
* 应用：证明直角三角形的特殊性质。
3. 角平分线的性质和判定
* **角平分线的性质：** 角平分线上的点到角两边的距离相等。
* 应用：证明线段相等。
* 定理：到角两边距离相等的点在角平分线上。
* **角平分线的判定：** 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
* 应用：构造角平分线，证明线是角平分线。
4. 全等三角形的应用
* **证明线段相等：**
* 寻找线段所在的三角形。
* 证明三角形全等。
* 利用对应边相等。
* **证明角相等：**
* 寻找角所在的三角形。
* 证明三角形全等。
* 利用对应角相等。
* **构造辅助线：**
* 中线倍长法。
* 截长补短法。
* 角平分线辅助线。
二、第二章：轴对称
1. 轴对称图形
* **定义：** 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
* **性质：**
* 对称轴是对应点连线的垂直平分线。
* 对应线段相等，对应角相等。
* 对称图形的对应点到对称轴的距离相等。
2. 轴对称的性质
* **定义：**把一个图形沿某条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称。
* **性质：**
* 对称轴是对应点连线的垂直平分线。
* 对应线段相等，对应角相等。
3. 线段的垂直平分线
* **定义：**经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线。
* **性质：**
* 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
* 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
* **应用：**
* 作线段的垂直平分线。
* 解决与距离有关的问题。
4. 等腰三角形
* **定义：** 有两条边相等的三角形。
* **性质：**
* 两腰相等。
* 两底角相等（等边对等角）。
* 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
* **判定：**
* 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
5. 等边三角形
* **定义：** 三条边都相等的三角形。
* **性质：**
* 三条边都相等。
* 三个角都相等，且都等于60度。
* 三线合一。
* **判定：**
* 三个角都相等的三角形是等边三角形。
* 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形
* **性质：**在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
* **应用：**求线段长度，证明线段关系。
三、第三章：实数
1. 算术平方根
* **定义：** 如果一个正数x的平方等于a，即x² = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
* **表示：** √a (a ≥ 0)
* **性质：**
* 非负性：√a ≥ 0
* 被开方数必须是非负数。
2. 平方根
* **定义：** 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x叫做a的平方根。
* **表示：** ±√a (a ≥ 0)
* **性质：**
* 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
* 0的平方根是0。
* 负数没有平方根。
3. 立方根
* **定义：** 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x叫做a的立方根。
* **表示：** ∛a
* **性质：**
* 正数的立方根是正数。
* 0的立方根是0。
* 负数的立方根是负数。
4. 实数
* **定义：** 有理数和无理数统称为实数。
* **分类：**
* 按定义分：有理数、无理数
* 按正负分：正实数、0、负实数
* **性质：**
* 实数与数轴上的点一一对应。
* 实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，且结果还是实数。
5. 无理数
* **定义：** 无限不循环小数叫做无理数。
* **常见类型：**
* 开方开不尽的数，如 √2，∛5 等。
* 无限不循环小数，如 π 等。
* 有规律但不循环的小数，如 0.1010010001…
6. 实数的运算
* **运算顺序：** 先乘方开方，再乘除，后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里面的。
* **运算律：** 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
* **注意事项：** 符号问题，计算精确度。
四、第四章：一次函数
1. 函数
* **定义：** 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
* **表示方法：**
* 关系式法（解析式法）
* 列表法
* 图像法
2. 一次函数
* **定义：** 函数y=kx+b (k,b为常数，k≠0) 叫做一次函数。当b=0时，y=kx叫做正比例函数。
* **图像：** 一条直线。
* **性质：**
* k > 0，y随x的增大而增大。
* k < 0，y随x的增大而减小。
* **k的意义：** 直线的斜率，表示y随x的变化快慢。
3. 正比例函数
* **定义：** y=kx (k为常数，k≠0)
* **图像：** 一条经过原点的直线。
* **性质：**
* k > 0，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大。
* k < 0，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小。
4. 一次函数的图像与性质
* **截距：** 与y轴交点的纵坐标为b，与x轴交点的横坐标为 -b/k。
* **图像的平移：**
* y = kx + b1 平移到 y = kx + b2: 上下平移 |b1-b2| 个单位。
* 向左平移m个单位：y = k(x+m) + b
* 向右平移m个单位：y = k(x-m) + b
5. 用待定系数法求一次函数解析式
* **步骤：**
* 设出函数解析式：y = kx + b
* 代入已知点的坐标，列出方程组。
* 解方程组，求出k和b的值。
* 写出函数解析式。
* **两种情况：**
* 已知两个点。
* 已知一个点和一个条件（如平行、垂直、斜率等）。
6. 一次函数的应用
* **解决实际问题：**
* 建立函数模型。
* 分析变量之间的关系。
* 求解函数解析式。
* 解释结果。
* **线性规划初步：** 简单的利润最大化或成本最小化问题。
五、第五章：二元一次方程组
1. 二元一次方程
* **定义：** 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
* **一般形式：** ax + by = c (a, b不同时为0)
* **解：** 使二元一次方程两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2. 二元一次方程组
* **定义：** 由两个或两个以上的二元一次方程组成的一组方程。
* **解：** 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
3. 解二元一次方程组
* **代入消元法：**
* 选择一个方程，将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来。
* 将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
* 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
* 将求得的未知数的值代入原来的方程或变形后的方程，求出另一个未知数的值。
* 写出方程组的解。
* **加减消元法：**
* 将两个方程的某一个未知数的系数化成相同或互为相反数。
* 将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
* 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
* 将求得的未知数的值代入原来的方程或变形后的方程，求出另一个未知数的值。
* 写出方程组的解。
4. 三元一次方程组 (了解)
* **解法：** 通过消元，转化为二元一次方程组。
5. 二元一次方程组的应用
* **列方程组解应用题：**
* 审题，找出等量关系。
* 设未知数。
* 列方程组。
* 解方程组。
* 检验并答题。
* **常见类型：**
* 行程问题。
* 工程问题。
* 分配问题。
* 利润问题。
