四年级下册数学思维导图

# 《四年级下册数学思维导图》

## 一、运算定律与简便计算

### 1. 加法运算定律

*   **1.1 加法交换律**

*   概念：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
    *   公式：a + b = b + a
    *   应用：验算加法、简便计算

*   **1.2 加法结合律**

*   概念：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
    *   公式：(a + b) + c = a + (b + c)
    *   应用：连加运算的简便计算

### 2. 乘法运算定律

*   **2.1 乘法交换律**

*   概念：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
    *   公式：a × b = b × a
    *   应用：验算乘法、简便计算

*   **2.2 乘法结合律**

*   概念：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
    *   公式：(a × b) × c = a × (b × c)
    *   应用：连乘运算的简便计算

*   **2.3 乘法分配律**

*   概念：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
    *   公式：(a + b) × c = a × c + b × c
    *   逆运算：a × c + b × c = (a + b) × c
    *   应用：简便计算、解决实际问题

### 3. 减法的性质

*   **3.1 一个数连续减去两个数**

*   公式：a - b - c = a - (b + c)
    *   应用：简便计算

### 4. 除法的性质

*   **4.1 一个数连续除以两个数**

*   公式：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
    *   应用：简便计算

### 5. 简便计算的应用

*   灵活运用加法、乘法运算定律，减法和除法的性质进行简便计算。
*   注意观察数字特征，选择合适的运算定律或性质。
*   逆向思维：学会运用运算定律的逆运算。

## 二、小数的意义和性质

### 1. 小数的意义

*   **1.1 分数的另一种表示形式**
    *   意义：表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。
*   **1.2 小数的计数单位**
    *   计数单位：十分之一 (0.1)、百分之一 (0.01)、千分之一 (0.001)……
    *   进率：每相邻两个计数单位之间的进率是10。
*   **1.3 小数的组成**
    *   由整数部分、小数点和小数部分组成。
    *   小数部分从左向右依次是十分位、百分位、千分位……

### 2. 小数的读法和写法

*   **2.1 读法**
    *   整数部分：按照整数的读法来读。
    *   小数点：读作“点”。
    *   小数部分：依次读出每一个数字。
*   **2.2 写法**
    *   整数部分：按照整数的写法来写。
    *   小数点：写在个位的右下角。
    *   小数部分：依次写出每一个数字。

### 3. 小数的性质

*   **3.1 基本性质**
    *   在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
    *   应用：化简小数、改变小数的计数单位而不改变小数的大小。
*   **3.2 小数点移动引起小数大小的变化**
    *   小数点向右移动一位，小数扩大到原来的10倍。
    *   小数点向右移动两位，小数扩大到原来的100倍。
    *   小数点向右移动三位，小数扩大到原来的1000倍。
    *   小数点向左移动一位，小数缩小到原来的1/10。
    *   小数点向左移动两位，小数缩小到原来的1/100。
    *   小数点向左移动三位，小数缩小到原来的1/1000。
*   **3.3 小数的大小比较**
    *   先比较整数部分，整数部分大的那个数就大。
    *   如果整数部分相同，就比较小数部分，从十分位开始比较，依次比较百分位、千分位……

### 4. 小数与单位换算

*   **4.1 单位换算**
    *   高级单位 -> 低级单位：乘以进率。
    *   低级单位 -> 高级单位：除以进率。
*   **4.2 名数改写**
    *   利用小数点的移动，改变单位。

### 5. 近似数

*   **5.1 近似数的概念**
    *   与准确数很接近的数。
*   **5.2 求近似数的方法**
    *   四舍五入法：看要保留的数位的下一位，如果大于或等于5，就向前一位进1，如果小于5，就舍去。
    *   保留整数：精确到个位
    *   保留一位小数：精确到十分位
    *   保留两位小数：精确到百分位
*   **5.3 改写成用“万”或“亿”作单位的数**
    *   改写：将数改写成用“万”或“亿”作单位的数，大小不变，只需要在数字后面写上“万”或“亿”。
    *   省略：先改写，再用四舍五入法求近似数。

## 三、三角形

### 1. 三角形的特性

*   **1.1 定义**
    *   由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）
*   **1.2 特性**
    *   稳定性：不易变形
    *   三角形任意两边之和大于第三边

### 2. 三角形的分类

*   **2.1 按角分**
    *   锐角三角形：三个角都是锐角。
    *   直角三角形：有一个角是直角。
    *   钝角三角形：有一个角是钝角。
*   **2.2 按边分**
    *   等腰三角形：有两条边相等的三角形。
        *   底角相等
        *   顶角：与两条相等的边所夹的角。
    *   等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。
        *   三个角都是60度
    *   不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

### 3. 三角形的内角和

*   **3.1 三角形内角和定理**
    *   三角形的内角和是180度。
*   **3.2 应用**
    *   已知两个角，求第三个角。
    *   判断是否是三角形的三个内角。

### 4. 图形的拼组

*   **4.1 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形**
*   **4.2 两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形**
*   **4.3 多边形的内角和**
    *   可以分割成若干个三角形来计算。

## 四、位置与方向

### 1. 确定位置

*   **1.1 数对**
    *   用两个数来确定平面上点的位置，这两个数组成的有序数对叫做数对，一般写成 (x, y)。
    *   x：表示列数（横向）。
    *   y：表示行数（纵向）。

### 2. 描述方向

*   **2.1 方向和距离**
    *   确定方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
    *   测量距离：用比例尺换算实际距离。
*   **2.2 画方位图**
    *   选定观测点。
    *   确定方向。
    *   确定距离。
    *   标注名称。

## 五、统计

### 1. 平均数

*   **1.1 概念**
    *   一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
*   **1.2 计算方法**
    *   平均数 = 总数量 ÷ 总份数
*   **1.3 应用**
    *   反映一组数据的总体水平。

### 2. 条形统计图

*   **2.1 单式条形统计图**
    *   纵轴表示数量，横轴表示项目。
*   **2.2 复式条形统计图**
    *   在一张图中表示多个项目的统计数据，用不同的颜色或符号区分。
*   **2.3 作用**
    *   直观地反映数据的多少。
    *   便于比较不同项目之间的数据差异。
    *   可以进行预测。

## 六、数学广角 – 鸡兔同笼

### 1. 基本概念

*   鸡兔同笼问题：已知鸡和兔的总只数和总腿数，求鸡和兔各有多少只的问题。

### 2. 解题方法

*   **2.1 假设法**
    *   假设全是鸡，或全是兔，然后进行调整。
*   **2.2 列方程法**
    *   设鸡或兔为未知数，根据题意列方程求解。
*   **2.3 抬腿法**
    *   假设每只动物都抬起若干条腿，使腿数相同，从而简化问题。

### 3. 变式问题

*   对鸡兔同笼问题的变式进行分析，找到解题思路。
*   例如：替换问题、盈亏问题等。

《四年级下册数学思维导图》

一、运算定律与简便计算

1. 加法运算定律

1.1 加法交换律
- 概念：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
- 公式：a + b = b + a
- 应用：验算加法、简便计算
1.2 加法结合律
- 概念：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
- 公式：(a + b) + c = a + (b + c)
- 应用：连加运算的简便计算

2. 乘法运算定律

2.1 乘法交换律
- 概念：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
- 公式：a × b = b × a
- 应用：验算乘法、简便计算
2.2 乘法结合律
- 概念：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
- 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
- 应用：连乘运算的简便计算
2.3 乘法分配律
- 概念：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
- 公式：(a + b) × c = a × c + b × c
- 逆运算：a × c + b × c = (a + b) × c
- 应用：简便计算、解决实际问题

3. 减法的性质

3.1 一个数连续减去两个数
- 公式：a - b - c = a - (b + c)
- 应用：简便计算

4. 除法的性质

4.1 一个数连续除以两个数
- 公式：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
- 应用：简便计算

5. 简便计算的应用

灵活运用加法、乘法运算定律，减法和除法的性质进行简便计算。
注意观察数字特征，选择合适的运算定律或性质。
逆向思维：学会运用运算定律的逆运算。

二、小数的意义和性质

1. 小数的意义

1.1 分数的另一种表示形式
- 意义：表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。
1.2 小数的计数单位
- 计数单位：十分之一 (0.1)、百分之一 (0.01)、千分之一 (0.001)……
- 进率：每相邻两个计数单位之间的进率是10。
1.3 小数的组成
- 由整数部分、小数点和小数部分组成。
- 小数部分从左向右依次是十分位、百分位、千分位……

2. 小数的读法和写法

2.1 读法
- 整数部分：按照整数的读法来读。
- 小数点：读作“点”。
- 小数部分：依次读出每一个数字。
2.2 写法
- 整数部分：按照整数的写法来写。
- 小数点：写在个位的右下角。
- 小数部分：依次写出每一个数字。

3. 小数的性质

3.1 基本性质
- 在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
- 应用：化简小数、改变小数的计数单位而不改变小数的大小。
3.2 小数点移动引起小数大小的变化
- 小数点向右移动一位，小数扩大到原来的10倍。
- 小数点向右移动两位，小数扩大到原来的100倍。
- 小数点向右移动三位，小数扩大到原来的1000倍。
- 小数点向左移动一位，小数缩小到原来的1/10。
- 小数点向左移动两位，小数缩小到原来的1/100。
- 小数点向左移动三位，小数缩小到原来的1/1000。
3.3 小数的大小比较
- 先比较整数部分，整数部分大的那个数就大。
- 如果整数部分相同，就比较小数部分，从十分位开始比较，依次比较百分位、千分位……

4. 小数与单位换算

4.1 单位换算
- 高级单位 -> 低级单位：乘以进率。
- 低级单位 -> 高级单位：除以进率。
4.2 名数改写
- 利用小数点的移动，改变单位。

5. 近似数

5.1 近似数的概念
- 与准确数很接近的数。
5.2 求近似数的方法
- 四舍五入法：看要保留的数位的下一位，如果大于或等于5，就向前一位进1，如果小于5，就舍去。
- 保留整数：精确到个位
- 保留一位小数：精确到十分位
- 保留两位小数：精确到百分位
5.3 改写成用“万”或“亿”作单位的数
- 改写：将数改写成用“万”或“亿”作单位的数，大小不变，只需要在数字后面写上“万”或“亿”。
- 省略：先改写，再用四舍五入法求近似数。

三、三角形

1. 三角形的特性

1.1 定义
- 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）
1.2 特性
- 稳定性：不易变形
- 三角形任意两边之和大于第三边

2. 三角形的分类

2.1 按角分
- 锐角三角形：三个角都是锐角。
- 直角三角形：有一个角是直角。
- 钝角三角形：有一个角是钝角。
2.2 按边分
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
  - 底角相等
  - 顶角：与两条相等的边所夹的角。
- 等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。
  - 三个角都是60度
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

3. 三角形的内角和

3.1 三角形内角和定理
- 三角形的内角和是180度。
3.2 应用
- 已知两个角，求第三个角。
- 判断是否是三角形的三个内角。

4. 图形的拼组

4.1 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形
4.2 两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形
4.3 多边形的内角和
- 可以分割成若干个三角形来计算。

四、位置与方向

1. 确定位置

1.1 数对
- 用两个数来确定平面上点的位置，这两个数组成的有序数对叫做数对，一般写成 (x, y)。
- x：表示列数（横向）。
- y：表示行数（纵向）。

2. 描述方向

2.1 方向和距离
- 确定方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
- 测量距离：用比例尺换算实际距离。
2.2 画方位图
- 选定观测点。
- 确定方向。
- 确定距离。
- 标注名称。

五、统计

1. 平均数

1.1 概念
- 一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
1.2 计算方法
- 平均数 = 总数量 ÷ 总份数
1.3 应用
- 反映一组数据的总体水平。

2. 条形统计图

2.1 单式条形统计图
- 纵轴表示数量，横轴表示项目。
2.2 复式条形统计图
- 在一张图中表示多个项目的统计数据，用不同的颜色或符号区分。
2.3 作用
- 直观地反映数据的多少。
- 便于比较不同项目之间的数据差异。
- 可以进行预测。

六、数学广角 – 鸡兔同笼

1. 基本概念

鸡兔同笼问题：已知鸡和兔的总只数和总腿数，求鸡和兔各有多少只的问题。

2. 解题方法

2.1 假设法
- 假设全是鸡，或全是兔，然后进行调整。
2.2 列方程法
- 设鸡或兔为未知数，根据题意列方程求解。
2.3 抬腿法
- 假设每只动物都抬起若干条腿，使腿数相同，从而简化问题。

3. 变式问题

对鸡兔同笼问题的变式进行分析，找到解题思路。
例如：替换问题、盈亏问题等。

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