《五年级下册第一单元思维导图》
一、 图形变换
1.1 轴对称图形
1.1.1 定义
- 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
1.1.2 特征
- 对称轴是一条直线。
- 对称轴两边的图形完全相同。
- 对应点到对称轴的距离相等。
1.1.3 画轴对称图形的另一半
- 确定对称轴。
- 找出关键点，并数出它们到对称轴的距离。
- 在对称轴的另一侧找到对应点，距离与原关键点到对称轴的距离相等。
- 按原来的顺序连接各点。
1.1.4 常见轴对称图形
- 线段
- 角
- 等腰三角形
- 等边三角形
- 正方形
- 长方形
- 圆
- 等腰梯形
- 正多边形 (正五边形，正六边形等)
- 一些汉字和字母 (A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y)
1.2 图形的旋转
1.2.1 定义
- 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向旋转一个角度的变换叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
1.2.2 旋转的三要素
- 旋转中心：确定图形围绕哪个点旋转。
- 旋转方向：顺时针方向或逆时针方向。
- 旋转角度：旋转了多少度。
1.2.3 旋转的性质
- 旋转不改变图形的形状和大小。
- 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度。
- 对应点到旋转中心的距离相等。
- 对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角。
1.2.4 画旋转后的图形
- 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 找出关键点，连接关键点和旋转中心。
- 按旋转方向，以旋转中心为顶点，将关键点与旋转中心的连线旋转相应的角度。
- 在旋转后的位置确定关键点的对应点。
- 按原来的顺序连接各对应点。
1.3 图案设计
1.3.1 利用轴对称设计图案
- 先画出一个基本图形。
- 以一条直线为对称轴，画出基本图形的轴对称图形。
- 可以多次重复以上步骤，设计出更加复杂的图案。
1.3.2 利用旋转设计图案
- 先画出一个基本图形。
- 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 将基本图形绕旋转中心旋转相应的角度，得到新的图形。
- 可以多次重复以上步骤，设计出更加复杂的图案。
- 可以将轴对称和旋转结合起来设计图案。
二、 因数与倍数
2.1 因数和倍数的概念
2.1.1 因数
- 如果整数a除以整数b (b≠0) ，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，或称b是a的约数。
- 例如：12 ÷ 3 = 4，所以3是12的因数，12也是3的倍数。
2.1.2 倍数
- 如果整数a除以整数b (b≠0) ，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a是b的倍数。
- 例如：12 ÷ 3 = 4，所以12是3的倍数。
2.1.3 注意事项
- 因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
- 研究因数和倍数时，所指的数一般是整数（不包括0）。
- 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
- 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2.2 2、5、3的倍数的特征
2.2.1 2的倍数特征
- 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数，也叫偶数。
- 个位上是1、3、5、7、9的数，不是2的倍数，也叫奇数。
2.2.2 5的倍数特征
- 个位上是0或5的数，都是5的倍数。
2.2.3 3的倍数特征
- 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2.3 质数和合数
2.3.1 质数
- 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
- 例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29等。
2.3.2 合数
- 一个数除了1和它本身，还有其他的因数，这样的数叫做合数。
- 例如：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18等。
2.3.3 特殊的数
- 1既不是质数，也不是合数。
- 2是唯一的偶数质数。
2.3.4 分解质因数
- 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
- 方法：短除法。
2.4 最大公因数
2.4.1 公因数
- 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
2.4.2 最大公因数
- 几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2.4.3 求最大公因数的方法
- 列举法：分别写出各数的因数，然后找出公因数，再找出最大的公因数。
- 短除法：用这几个数的公有质因数去除，一直除到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来。
- 特殊情况：如果两个数成倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1。
2.5 最小公倍数
2.5.1 公倍数
- 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
2.5.2 最小公倍数
- 几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
2.5.3 求最小公倍数的方法
- 列举法：分别写出各数的倍数，然后找出公倍数，再找出最小的公倍数。
- 短除法：用这几个数的公有质因数去除，一直除到所得的商互质为止，然后把所有的除数和商连乘起来。
- 特殊情况：如果两个数成倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积。
2.6 互质数
2.6.1 定义
- 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
2.6.2 判断方法
- 两个都是质数，且不相同，比如：7和13。
- 一个是质数，一个是合数，且合数不是质数的倍数，比如：3和8。
- 两个都是合数，且没有共同的质因数，比如：9和10。
- 1和任何大于1的自然数互质。
三、 总结
本单元主要学习了图形的变换和因数与倍数两部分内容。 图形变换包括轴对称图形和图形的旋转，需要掌握其定义、性质以及如何画出变换后的图形，并能运用这些知识设计图案。 因数与倍数部分是数论的基础，需要理解因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数等概念，并掌握求最大公因数和最小公倍数的方法。 熟练掌握这些知识，对于后续学习分数的认识和运算至关重要。