《五年级下册第二单元思维导图》

一、因数与倍数

1.1 概念辨析

1.1.1 因数的概念

• 定义：若整数a能被整数b整除（没有余数），则b是a的因数，a是b的倍数。
• 关键词：整除、整数、没有余数
• 重要性质：
  • 因数一定是整数。
  • 一个数的因数个数是有限的。
  • 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。

1.1.2 倍数的概念

• 定义：若整数a能被整数b整除（没有余数），则b是a的因数，a是b的倍数。
• 关键词：整除、整数、没有余数
• 重要性质：
  • 倍数一定是整数。
  • 一个数的倍数个数是无限的。
  • 一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。

1.1.3 区别与联系

• 区别：因数是“找”出来的，倍数是“找”出来的。因数是相对较小的数，倍数是相对较大的数。
• 联系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。离开整除关系，就不能说某个数是另一个数的因数或倍数。

1.2 寻找因数与倍数的方法

1.2.1 寻找因数

• 方法一：成对寻找法。
  • 例如：寻找12的因数：1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。
• 方法二：除法寻找法。
  • 例如：寻找15的因数：15÷1=15，15÷3=5，15÷5=3，15÷15=1。所以15的因数有1，3，5，15。
• 注意事项：避免遗漏，按顺序查找，先小后大。

1.2.2 寻找倍数

• 方法：用这个数依次乘以1，2，3，…
  • 例如：寻找3的倍数：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，… 所以3的倍数有3，6，9，12，…
• 注意事项：由于倍数是无限的，所以只能列举一部分。

1.3 特殊数的因数与倍数

1.3.1 1的因数与倍数

• 因数：只有1个，就是1。
• 倍数：无限个，1，2，3，4，5……

1.3.2 0的因数与倍数

• 因数：0不能做因数，因为除数不能为0。
• 倍数：任何非零自然数都是0的因数，0是任何非零自然数的倍数（但在小学阶段，一般不讨论0的倍数，也不把0作为因数）。

二、2、5、3的倍数的特征

2.1 2的倍数的特征

• 特征：个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。也叫偶数。
• 偶数：能被2整除的数是偶数。
• 奇数：不能被2整除的数是奇数。
• 特殊：0是偶数。

2.2 5的倍数的特征

• 特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

2.3 3的倍数的特征

• 特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
• 例如：123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。
• 应用：判断一个数是否是3的倍数，简化大数的判断。

2.4 综合应用

• 判断一个数同时是2和5的倍数：个位上一定是0。
• 判断一个数同时是2和3的倍数：个位上是0、2、4、6、8，且各位数字之和是3的倍数。
• 判断一个数同时是3和5的倍数：个位上是0或5，且各位数字之和是3的倍数。

三、质数与合数

3.1 质数的概念

• 定义：只有1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数）。
• 例如：2，3，5，7，11，13，17，19……
• 注意：1既不是质数，也不是合数。

3.2 合数的概念

• 定义：除了1和它本身以外，还有其他因数的数叫做合数。
• 例如：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18……
• 注意：1既不是质数，也不是合数。

3.3 1的特殊性

• 1只有一个因数（1），所以它既不是质数，也不是合数。

3.4 区分质数与合数的方法

• 查找因数：如果一个数只有1和它本身两个因数，就是质数；如果除了1和它本身，还有其他的因数，就是合数。
• 特殊记忆：2是唯一的偶数质数，也是最小的质数。

3.5 100以内的质数表

• 背诵记忆：有助于快速判断一个数是否为质数。
• 常用质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29

四、分解质因数

4.1 质因数的概念

• 定义：一个数的因数是质数，这个因数叫做这个数的质因数。
• 例如：12的因数有1，2，3，4，6，12。其中2和3是质数，所以2和3是12的质因数。

4.2 分解质因数的概念

• 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
• 例如：12=2×2×3

4.3 分解质因数的方法

4.3.1 短除法

• 步骤：
  1. 用一个质数去除这个合数，得出一个商。
  2. 如果这个商还是合数，就继续用质数去除，直到商是质数为止。
  3. 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。

• 例如：分解24的质因数：

  2 | 24 2 | 12 2 | 6 3 24=2×2×2×3

4.3.2 树状图法

• 步骤：
  1. 把合数分解成两个因数相乘的形式。
  2. 如果因数是合数，就继续分解，直到所有因数都是质数为止。
  3. 把所有的质因数写成连乘的形式。

• 例如：分解36的质因数：

    36
  /    \

  4 9 / \ / \ 2 2 3 3 36=2×2×3×3

4.4 分解质因数的意义

• 为后续学习求最大公因数和最小公倍数奠定基础。
• 理解数的构成，深入认识数的性质。

五、公因数和最大公因数

5.1 公因数的概念

• 定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
• 例如：12的因数有1，2，3，4，6，12；18的因数有1，2，3，6，9，18。12和18的公因数有1，2，3，6。

5.2 最大公因数的概念

• 定义：几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
• 例如：12和18的公因数有1，2，3，6。其中6是最大的，所以6是12和18的最大公因数，记作(12,18)=6。

5.3 寻找最大公因数的方法

5.3.1 列举法

• 分别列出各数的因数，找出公有的因数，然后找出最大的公因数。
• 适用范围：较小的数。

5.3.2 短除法

• 步骤：
  1. 用几个数公有的质因数去除这些数，直到所得的商互质为止。
  2. 把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
• 适用范围：较大的数。

• 例如：求24和36的最大公因数：

  2 | 24 36 2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 (24,36)=2×2×3=12

5.3.3 分解质因数法

• 步骤：
  1. 分别把几个数分解质因数。
  2. 找出这几个数公有的质因数。
  3. 把所有的公有的质因数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
• 适用范围：更大的数。

5.4 互质数

• 定义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 例如：8和9的最大公因数是1，所以8和9是互质数。
• 特殊情况：两个质数一定是互质数；1和任何自然数都是互质数；相邻的两个自然数是互质数。

六、公倍数和最小公倍数

6.1 公倍数的概念

• 定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
• 例如：3的倍数有3，6，9，12，15，18，21，24，…；4的倍数有4，8，12，16，20，24，28，… 3和4的公倍数有12，24，…

6.2 最小公倍数的概念

• 定义：几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
• 例如：3和4的公倍数有12，24，… 其中12是最小的，所以12是3和4的最小公倍数，记作[3,4]=12。

6.3 寻找最小公倍数的方法

6.3.1 列举法

• 分别列出各数的倍数，找出公有的倍数，然后找出最小的公倍数。
• 适用范围：较小的数。

6.3.2 短除法

• 步骤：
  1. 用几个数公有的质因数去除这些数，直到所得的商互质为止。
  2. 把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
• 适用范围：较大的数。

• 例如：求12和18的最小公倍数：

  2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 [12,18]=2×3×2×3=36

6.3.3 分解质因数法

• 步骤：
  1. 分别把几个数分解质因数。
  2. 找出这几个数公有的质因数。
  3. 把所有的公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
• 适用范围：更大的数。

6.4 特殊情况

• 如果两个数互质，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
• 如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

七、综合应用

• 利用因数、倍数、质数、合数、公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的知识解决实际问题。
• 例如：铺地砖问题、分组问题、周期问题等。

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