《高中数学必修一第二章思维导图》

一、集合

1. 集合的概念

• 定义： 具有某种特定性质的对象的总体。
• 元素： 集合中的每个对象。
• 性质：
  • 确定性： 集合中的元素必须是确定的，不允许模棱两可。
  • 互异性： 集合中的元素必须是互不相同的，不允许重复。
  • 无序性： 集合中的元素是没有先后顺序的，{a, b} 和 {b, a} 表示同一个集合。
• 表示方法：
  • 列举法： 将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来，如 {1, 2, 3}。
  • 描述法： 用集合中元素所具有的共同性质来描述集合，如 {x | x > 3}。
  • Venn图： 用封闭曲线的内部来表示集合。
• 元素与集合的关系：
  • 属于： a ∈ A，表示元素 a 属于集合 A。
  • 不属于： a ∉ A，表示元素 a 不属于集合 A。
• 常用数集：
  • N： 自然数集，包含 0 和所有正整数。
  • *N 或 N+：** 正整数集，不包含 0。
  • Z： 整数集，包含所有正整数、负整数和 0。
  • Q： 有理数集，能表示成两个整数之比的数。
  • R： 实数集，包含所有有理数和无理数。

2. 集合间的基本关系

• 子集： 对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B 或 B ⊇ A。
  • 真子集： 如果 A ⊆ B 且 A ≠ B，则称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B 或 B ⊃ A。
• 空集： 不含任何元素的集合，记作 ∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
• 集合相等： 对于两个集合 A 和 B，如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则称 A 和 B 相等，记作 A = B。
• 结论:
  • 任何集合是其本身的子集： A ⊆ A。
  • 传递性： 若 A ⊆ B, B ⊆ C, 则 A ⊆ C。
  • 包含 n 个元素的集合有 2^n 个子集，2^n - 1 个真子集，2^n - 2 个非空真子集。

3. 集合的基本运算

• 并集： 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A ∪ B，A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
• 交集： 由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A ∩ B，A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
• 全集： 包含我们所要研究的各个集合的全部元素的集合，记作 U。
• 补集： 由全集 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合，记作 ∁UA，∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。
• 运算性质：
  • A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A。
  • A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅。
  • A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A。
  • ∁U(∁UA) = A。
  • ∁U(A ∪ B) = (∁UA) ∩ (∁UB)。
  • ∁U(A ∩ B) = (∁UA) ∪ (∁UB)。

二、函数的概念与基本初等函数I

1. 函数的概念

• 定义： 设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x), x ∈ A。
• 定义域： 集合 A 叫做函数的定义域。
• 值域： 与 x 对应的 y 值的集合 {y | y = f(x), x ∈ A} 叫做函数的值域。
• 对应关系： f 是对应关系，必须是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”。
• 函数的表示方法：
  • 解析式法： 用数学表达式表示函数关系，如 y = x^2 + 1。
  • 图像法： 用函数图像表示函数关系，可以直接观察函数的性质。
  • 列表法： 列出一些自变量与函数值的对应关系，如统计表。
• 函数图像： 函数 y = f(x) 的图像是由点 (x, f(x)) 组成的集合。

2. 函数的性质

• 单调性：
  • 单调递增： 在定义域内的某个区间上，如果对于任意的 x1, x2，当 x1 < x2 时，都有 f(x1) < f(x2)，那么称 f(x) 在该区间上单调递增。
  • 单调递减： 在定义域内的某个区间上，如果对于任意的 x1, x2，当 x1 < x2 时，都有 f(x1) > f(x2)，那么称 f(x) 在该区间上单调递减。
• 奇偶性：
  • 偶函数： 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x) = f(x)，那么称 f(x) 为偶函数。偶函数图像关于 y 轴对称。
  • 奇函数： 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x) = -f(x)，那么称 f(x) 为奇函数。奇函数图像关于原点对称。
  • 注意： 函数的奇偶性与其定义域相关，定义域必须关于原点对称。
• 周期性： 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得对于定义域内的任何 x，都有 f(x + T) = f(x)，那么称 f(x) 为周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

3. 基本初等函数I

• 指数函数： y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)。
  • 性质：
    • 定义域：R。
    • 值域：(0, +∞)。
    • 恒过点 (0, 1)。
    • a > 1 时，单调递增；0 < a < 1 时，单调递减。
• 对数函数： y = loga(x) (a > 0 且 a ≠ 1)。
  • 性质：
    • 定义域：(0, +∞)。
    • 值域：R。
    • 恒过点 (1, 0)。
    • a > 1 时，单调递增；0 < a < 1 时，单调递减。
• 幂函数： y = x^α (α ∈ R)。
  • 性质： 不同的α值，函数的性质不同，需要具体分析。常见例子：y=x, y=x^2, y=x^3, y=1/x, y=√x 等.

4. 函数的应用

• 零点存在性定理：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f(a) * f(b) < 0，则 f(x) 在区间 (a, b) 内至少有一个零点。

这幅思维导图涵盖了高中数学必修一第二章的所有重要知识点，并进行了详细的分解和阐述，旨在帮助学习者更清晰地理解和掌握相关内容。