初一上册数学第二单元思维导图
《初一上册数学第二单元思维导图》
一、核心概念：有理数
1.1 定义
- 整数： 正整数、零、负整数
- 分数： 正分数、负分数
- 有理数： 整数和分数统称为有理数，可以表示成分数形式 (p/q, q≠0)。
- 注意： 无限不循环小数不是有理数
1.2 分类
1.3 数轴
- 定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 要素： 原点、正方向、单位长度 (三要素缺一不可)
- 作用：
- 直观表示数
- 比较大小
- 揭示相反数的概念
- 绝对值的几何意义
二、重要概念：相反数与绝对值
2.1 相反数
- 定义： 只有符号不同的两个数互为相反数
- 表示： a 的相反数是 -a
- 性质：
- a + (-a) = 0
- 数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
- 特殊： 0 的相反数是 0
2.2 绝对值
- 定义： 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
- 代数意义：
- a > 0 时，|a| = a
- a = 0 时，|a| = 0
- a < 0 时，|a| = -a
- 几何意义： 数轴上表示数 a 的点到原点的距离。
- 性质：
- |a| ≥ 0 (绝对值具有非负性)
- |a| = |-a|
- 若 |a| = a，则 a ≥ 0
- 若 |a| = -a，则 a ≤ 0
三、有理数的大小比较
3.1 数轴比较法
3.2 法则比较法
- 正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
四、有理数的运算
4.1 加法
- 法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。
- 一个数同 0 相加，仍得这个数。
- 运算律：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
4.2 减法
- 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)
4.3 乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同 0 相乘，都得 0。
- 运算律：
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
4.4 除法
- 法则：
- 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
- 注意： 0 不能作除数。
4.5 乘方
- 定义： 求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
- 表示： an (a 称为底数，n 称为指数)
- 法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
- 0 的任何正整数次幂都是 0。
4.6 混合运算
- 运算顺序：
- 先乘方，后乘除，最后加减；
- 同级运算，从左到右进行；
- 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
五、科学计数法与近似数
5.1 科学计数法
- 定义： 将一个绝对值大于 10 的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学计数法。
- n 的确定： n 等于原数的整数位数减 1。
5.2 近似数
- 精确度： 近似数与准确数的接近程度。
- 有效数字： 从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
- 四舍五入： 按照要求，舍去尾数，如果舍去的尾数的最高位数字小于 5，就舍去尾数；如果舍去的尾数的最高位数字大于或等于 5，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1。
六、思维拓展与应用
- 数形结合思想的应用： 利用数轴解决实际问题。
- 绝对值的几何意义的应用：简化含绝对值的代数式。
- 有理数运算的综合应用：解决实际生活中的计算问题，如盈亏问题、行程问题等。
- 规律探索：通过观察、归纳、猜想，发现有理数运算中的规律。
