《初一数学上册第一单元思维导图》

一、正数与负数

1.1 概念

• 正数： 大于0的数，可以带“+”号，也可以省略。
  • 例子： 1, 2.5, +3, 1/2, π(视为近似值)
  • 意义：表示实际生活中具有积极意义的量，例如盈利、上升、增加等。
• 负数： 小于0的数，必须带“—”号。
  • 例子： -1, -2.5, -3, -1/2
  • 意义：表示实际生活中具有消极意义的量，例如亏损、下降、减少等。
• 0： 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界。
  • 意义：表示没有或者基准。
  • 注意：0具有特殊性，在很多情境下都有重要的作用。

1.2 数的分类

• 按性质分类：
  • 正数
  • 负数
  • 零
• 按是否为整数/分数分类：
  • 整数：正整数、负整数、零
  • 分数：正分数、负分数
  • 有理数：整数和分数统称为有理数。

1.3 用正负数表示相反意义的量

• 相反意义的量： 指的是具有相反意义的两个量。
  • 特征：必须包含两个要素：一是意义相反，二是同属一个范畴。
  • 例子：收入与支出、上升与下降、增加与减少、盈利与亏损、向东与向西。
• 表示方法： 先确定一个基准，用正数表示超出基准的量，用负数表示低于基准的量。
  • 例子：如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米记作-3米。
• 注意： 基准的选择不是唯一的，根据实际情况而定，通常以“0”作为基准。

二、有理数

2.1 数轴

• 定义： 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
• 要素：
  • 原点： 数轴上表示0的点。
  • 正方向： 数轴上箭头所指的方向，表示正数增加的方向。
  • 单位长度： 数轴上相邻两个刻度之间的长度，是衡量数值大小的标准。
• 特点：
  • 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。
  • 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。
  • 数轴上的点不都表示有理数（例如√2表示的点）。
• 作用：
  • 直观地表示数，便于观察数的大小关系。
  • 数形结合，为研究数学问题提供了工具。

2.2 相反数

• 定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。
• 表示： a的相反数是-a。
  • 例子： 5的相反数是-5，-3的相反数是3。
  • 特殊情况：0的相反数是0。
• 几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
• 性质：
  • a + (-a) = 0
  • |a| = |-a|

2.3 绝对值

• 定义： 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
• 几何意义： 表示点到原点的距离，距离非负。
• 代数意义：
  • 当a > 0时，|a| = a
  • 当a = 0时，|a| = 0
  • 当a < 0时，|a| = -a
• 性质：
  • |a| ≥ 0，绝对值永远是非负数。
  • |a| = |-a|
  • 若|a| = a，则a ≥ 0
  • 若|a| = -a，则a ≤ 0

2.4 有理数的大小比较

• 数轴法： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
• 法则：
  • 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。
• 注意：
  • 比较大小时，先判断正负，再比较绝对值。
  • 可以使用“>”、“<”、“=”等符号连接数值。

三、有理数的运算

3.1 有理数加法

• 法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 互为相反数的两个数相加，和为0。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 运算律：
  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 注意：
  • 进行有理数加法时，先确定符号，再计算绝对值。
  • 合理运用加法运算律，可以简化计算。

3.2 有理数减法

• 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
  • a - b = a + (-b)
• 注意： 减法转化为加法时，减号变加号，后面的数要变成它的相反数。

3.3 有理数乘法

• 法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
• 运算律：
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
• 多个非零有理数相乘的符号判定：
  • 奇数个负数相乘，结果为负。
  • 偶数个负数相乘，结果为正。

3.4 有理数除法

• 法则：
  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
    • a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0的数都得0。
• 注意：
  • 0不能做除数。
  • 除法可以转化为乘法进行计算。

3.5 有理数的乘方

• 定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
  • aⁿ 表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。
• 符号法则：
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
• 注意：
  • 任何数的0次幂都等于1(零除外)。
  • 1的任何次幂都等于1。

3.6 混合运算

• 运算顺序：
  • 先乘方，后乘除，最后加减；
  • 同级运算，从左到右进行；
  • 如有括号，先算括号内的，按照先小括号，再中括号，最后大括号的顺序进行。
• 注意：
  • 认真审题，明确运算顺序。
  • 灵活运用运算律，简化计算。
  • 注意符号的确定。

四、科学记数法

• 定义： 把一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
• n的确定： n等于原数的整数位数减1。
• 作用： 方便表示较大的数。

五、近似数与有效数字

• 近似数： 与实际数值很接近的数。
• 精确度： 近似数与准确数之间的接近程度，可以用精确到哪一位来表示。
• 有效数字： 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
• 用科学记数法表示的数的有效数字： a中的数字都是有效数字。
• 注意： 四舍五入是一种常用的取近似值的方法。

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