《初一年级数学思维导图》
一、数与式
1.1 有理数
1.1.1 概念
- 正数与负数
- 意义：表示具有相反意义的量
- 数轴：原点、正方向、单位长度
- 有理数分类
- 按定义：整数（正整数、零、负整数）、分数（正分数、负分数）
- 按性质：正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）
- 数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 作用：直观表示数，比较大小
- 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
- 性质：a的相反数为-a，a + (-a) = 0
- 绝对值
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离
- 性质：
- 正数的绝对值是它本身
- 负数的绝对值是它的相反数
- 0的绝对值是0
- |a| ≥ 0
1.1.2 运算
- 加法
- 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 一个数同0相加，仍得这个数
- 减法
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a - b = a + (-b)
- 乘法
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数同0相乘，都得0
- 多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇数个负数为负，偶数个负数为正
- 除法
- 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 0除以任何不为0的数，都得0
- 乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算
- 表示：aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ是幂
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
- 0的任何正整数次幂都是0
- 混合运算
- 先乘方，再乘除，最后加减
- 有括号先算括号里面的：先小括号，再中括号，最后大括号
1.2 代数式
1.2.1 概念
- 代数式
- 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子
- 单独的一个数或一个字母也是代数式
- 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：单项式中所有字母的指数的和
- 多项式
- 定义：几个单项式的和组成的代数式
- 项：多项式中的每个单项式
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
- 整式
- 单项式和多项式统称为整式
1.2.2 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
- 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
1.2.3 整式的加减
- 去括号
- 括号前面是“+”号，去掉括号，括号里各项的符号都不变
- 括号前面是“-”号，去掉括号，括号里各项的符号都要改变
- 合并同类项
- 步骤：去括号，合并同类项
1.3 一元一次方程
1.3.1 概念
- 方程：含有未知数的等式
- 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程
- 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值
- 解方程：求方程的解的过程
1.3.2 解法
- 等式的性质
- 等式两边加（或减）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式
- 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式
- 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边
- 步骤：
- 去分母（乘以所有分母的最小公倍数）
- 去括号
- 移项
- 合并同类项
- 系数化为1
1.3.3 应用
- 列方程解应用题
- 审题：理解题意，找出已知条件和未知量
- 设未知数：根据题意选择适当的未知数
- 列方程：根据题中的等量关系列出方程
- 解方程：求出方程的解
- 检验：检验方程的解是否符合题意
- 作答：写出答案
二、几何图形初步
2.1 几何图形
2.1.1 平面图形
- 三角形、四边形、圆等
2.1.2 立体图形
- 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等
2.2 直线、射线、线段
2.2.1 基本概念
- 直线：向两方无限延伸
- 射线：向一方无限延伸
- 线段：有两个端点
2.2.2 表示方法
- 直线：直线AB或直线l
- 射线：射线OA
- 线段：线段AB
2.2.3 性质
- 两点确定一条直线
- 两点之间，线段最短
2.2.4 线段的大小比较
- 叠合法
- 度量法
- 线段的中点
2.3 角
2.3.1 基本概念
- 角的定义：由两条有公共端点的射线组成的图形
- 角的表示：∠AOB、∠1、∠α
- 角的单位：度、分、秒
2.3.2 角的度量
- 1°=60′，1′=60″
2.3.3 角的大小比较
- 叠合法
- 度量法
2.3.4 特殊的角
- 直角：等于90°的角
- 锐角：小于90°的角
- 钝角：大于90°且小于180°的角
- 平角：等于180°的角
- 周角：等于360°的角
2.3.5 角的平分线
- 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线
2.3.6 余角和补角
- 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角
- 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角
- 性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等
三、数据整理与初步统计
3.1 调查
3.1.1 全面调查
- 定义：考察全体对象的调查
- 适用范围：总体数量较少的情况
3.1.2 抽样调查
- 定义：从总体中抽取一部分个体进行调查
- 样本：被抽取的个体
- 总体：所有考察对象的全体
- 样本容量：样本中个体的数目
- 适用范围：总体数量较多的情况
- 抽样的随机性：保证每个个体被抽到的机会相等
3.2 数据的表示
3.2.1 条形统计图
- 特点：能清楚地表示出每个项目的具体数目
3.2.2 折线统计图
- 特点：能清楚地反映出数据的变化趋势
3.2.3 扇形统计图
- 特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
3.3 统计量的选择
3.3.1 平均数
- 计算公式：所有数据的和除以数据的个数
- 特点：能反映数据的平均水平，容易受极端值的影响
3.3.2 中位数
- 定义：将数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数（或最中间两个数的平均数）
- 特点：不受极端值的影响
3.3.3 众数
- 定义：一组数据中出现次数最多的数
- 特点：不受极端值的影响
3.3.4 适用范围
- 平均数：适用于数据分布比较均匀的情况
- 中位数：适用于数据中存在极端值的情况
- 众数：适用于关注数据中出现频率最高的值的情况