《五年级下册数学分数思维导图》
一、分数的意义和性质
1.1 分数的意义
- 1.1.1 分数的产生:
- 在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
- 1.1.2 分数的定义:
- 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
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- 单位“1”的理解: 可以是一个物体，一个计量单位，或是一些物体的集合。
- 1.1.3 分数的组成:
- 分数线: 表示平均分。
- 分母: 表示把单位“1”平均分成多少份。
- 分子: 表示取了其中的多少份。
- 1.1.4 分数单位:
- 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
- 例如，5/8 的分数单位是 1/8。
- 1.1.5 分数的分类:
- 真分数：分子小于分母的分数 (真分数<1)。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数 (假分数≥1)。
- 带分数：由整数和真分数合成的数。
1.2 分数与除法的关系
- 1.2.1 关系:
- 被除数 ÷ 除数 = 被除数/除数 （除数不能为0）
- 1.2.2 应用:
- 解决“求一个数是另一个数的几分之几”的问题。
- 进行分数与小数的互化。
1.3 分数的性质
- 1.3.1 分数的基本性质:
- 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
- 理解: 分数的基本性质是分数化简和通分的基础。
- 1.3.2 约分:
- 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
- 最简分数: 分子和分母互质的分数。
- 方法：找出分子和分母的最大公因数，然后用最大公因数同时除以分子和分母。
- 1.3.3 通分:
- 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
- 公分母：通常取原来几个分母的最小公倍数作为公分母。
- 方法：找出分母的最小公倍数，然后把各个分数化成分母是最小公倍数的分数。
- 1.3.4 分数大小的比较:
- 同分母分数：分子大的分数就大。
- 同分子分数：分母小的分数反而大。
- 异分母分数：先通分，化成同分母分数，再比较大小。
- 与1比较: 与1/2比较。
二、分数的运算
2.1 分数加减法
- 2.1.1 同分母分数加减法:
- 分母不变，分子相加减。
- 结果能约分的要约成最简分数。
- 2.1.2 异分母分数加减法:
- 先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
- 结果能约分的要约成最简分数。
- 2.1.3 带分数加减法:
- 把带分数化成假分数，再进行计算。或者整数部分和分数部分分别进行计算，再合并。
- 2.1.4 分数加减混合运算:
- 运算顺序与整数加减混合运算相同。
- 整数加法的运算定律对分数加法同样适用。
- 简便计算: 灵活运用加法交换律和结合律进行简便计算。
2.2 分数乘法
- 2.2.1 分数乘整数:
- 分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
- 能约分的先约分，再计算。
- 2.2.2 分数乘分数:
- 分子乘分子，分母乘分母。
- 能约分的先约分，再计算。
- 2.2.3 分数乘法的意义:
- 求一个数的几分之几是多少。
- 2.2.4 积与因数的关系:
- 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
- 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。
- 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。
- 2.2.5 乘法运算定律在分数乘法中的应用:
- 乘法交换律、结合律、分配律。
2.3 分数除法
- 2.3.1 分数除以整数:
- 除以一个不等于0的整数，等于乘这个整数的倒数。
- 2.3.2 整数除以分数:
- 等于乘这个分数的倒数。
- 2.3.3 分数除以分数:
- 等于乘除数的倒数。
- 2.3.4 分数除法的意义:
- 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 求一个数是另一个数的几倍。
- 2.3.5 商与被除数的关系:
- 被除数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。
- 被除数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数。
- 被除数（0除外）除以等于1的数，商等于被除数。
- 2.3.6 除法运算定律在分数除法中的应用:
- 没有分配律，只有把除法转换成乘法以后，才能应用乘法的运算定律。
2.4 分数混合运算
- 2.4.1 运算顺序:
- 先乘除，后加减。有括号的先算括号里面的。
- 2.4.2 简便计算:
- 灵活运用运算定律进行简便计算。
三、解决问题
3.1 用分数解决实际问题
- 3.1.1 单位“1”的确定:
- 找准单位“1”，明确数量关系。
- 3.1.2 题型:
- 求一个数的几分之几是多少。
- 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
- 稍复杂的分数问题。
- 3.1.3 解题方法:
- 线段图分析法。
- 方程解法。
- 算术解法。
四、长方体（一）
4.1 长方体和正方体的认识
- 4.1.1 长方体的特征:
- 6个面，相对的面完全相同，也可能有两个相对的面是正方形。
- 12条棱，相对的棱长度相等。
- 8个顶点。
- 4.1.2 正方体的特征:
- 6个面，都是完全相同的正方形。
- 12条棱，长度都相等。
- 8个顶点。
- 4.1.3 长方体和正方体的关系:
- 正方体是特殊的长方体。
- 4.1.4 表面积:
- 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
- 长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2
- 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
- 4.1.5 体积单位:
- 立方米 (m³)
- 立方分米 (dm³)
- 立方厘米 (cm³)
- 4.1.6 体积单位之间的进率:
- 1 m³ = 1000 dm³
- 1 dm³ = 1000 cm³
4.2 体积
- 4.2.1 体积的意义:
- 物体所占空间的大小，叫做物体的体积。
- 4.2.2 长方体和正方体的体积:
- 长方体的体积 = 长×宽×高
- 正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长
- 统一公式：体积 = 底面积×高 （V=Sh）
- 4.2.3 容积:
- 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
- 4.2.4 容积单位:
- 升 (L)
- 毫升 (mL)
- 4.2.5 容积单位之间的进率:
- 1 L = 1000 mL
- 1 L = 1 dm³
- 1 mL = 1 cm³