七下数学第五章思维导图
《七下数学第五章思维导图》
一、 相交线与平行线
1. 相交线
1.1 邻补角
- 定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角。
- 性质：邻补角互补，即两个邻补角的和为180°。
1.2 对顶角
- 定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
- 性质：对顶角相等。
1.3 垂线
- 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 表示：用符号“⊥”表示垂直。如：AB⊥CD。
- 性质：
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
1.4 同位角、内错角、同旁内角
- 定义：由两条直线被第三条直线所截形成的角，具有特殊位置关系的角。
- 同位角：在截线的同侧，被截直线的同一方。
- 内错角：在截线的两侧，被截直线之间。
- 同旁内角：在截线的同侧，被截直线之间。
- 关键：理解截线和被截线的概念。
2. 平行线
2.1 平行线的定义
- 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 表示：用符号“∥”表示平行。如：AB∥CD。
- 前提：在同一平面内！
2.2 平行公理及其推论
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行线的传递性）
2.3 平行线的判定
- 利用同位角判定：同位角相等，两直线平行。
- 利用内错角判定：内错角相等，两直线平行。
- 利用同旁内角判定：同旁内角互补，两直线平行。
- 注意：判定方法是“证明”两直线平行，需要严谨的逻辑推理。
2.4 平行线的性质
- 如果两直线平行，同位角相等。
- 如果两直线平行，内错角相等。
- 如果两直线平行，同旁内角互补。
- 注意：性质是“已知”两直线平行，从而得到角的数量关系。
2.5 平移
- 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
- 性质：
- 平移不改变图形的形状和大小。
- 经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。
- 平移作图：按照平移的方向和平移的距离进行作图。
二、 命题、定理与证明
1. 命题
1.1 命题的定义
- 定义：判断一件事情的语句叫做命题。
- 组成：命题由题设（条件）和结论两部分组成。
- 形式：通常是“如果…，那么…”的形式，也可以是其他形式。
1.2 真假命题
- 真命题：正确的命题叫做真命题。
- 假命题：错误的命题叫做假命题。
- 判断方法：通过学习过的知识，或者举反例。
2. 定理
2.1 定理的定义
- 定义：经过证明的真命题叫做定理。
- 作用：定理可以直接作为推理的依据。
2.2 证明的必要性
- 仅仅通过观察、实验、归纳得到的结论可能不正确，需要通过证明来保证其正确性。
3. 证明
3.1 证明的步骤
- （1）根据题意，画出图形。
- （2）结合图形，写出已知和求证。
- （3）写出证明过程。
3.2 证明的书写格式
- 已知：
- 求证：
- 证明：
- …… (叙述推理过程，并注明理由)
- ……
- 所以……
3.3 常用的证明方法
- 演绎推理：从已知条件出发，依据已知的定义、公理、定理等，逐步推理，最后得出结论。
三、 本章学习注意点
- 理解并掌握相交线与平行线的概念、性质和判定方法。
- 能够准确辨认同位角、内错角、同旁内角。
- 熟练运用平行线的判定和性质进行简单的推理和计算。
- 理解命题、定理的定义，区分真假命题。
- 掌握证明的步骤和书写格式，能够进行简单的几何证明。
- 注意区分“判定”和“性质”，它们之间的逻辑关系是相反的。
- 注重图形与文字的结合，通过画图辅助理解和解决问题。
- 多做练习，熟能生巧，提高解题能力。
