《七年级数学下册思维导图》

一、第五章：相交线与平行线

1. 相交线

1.1 邻补角、对顶角

• 定义： 具有公共顶点，一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角叫做邻补角；一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
• 性质： 邻补角互补，对顶角相等。
• 应用： 利用性质求角度，证明角度关系。

1.2 垂线

• 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
• 表示： 记作 l ⊥ m，读作 l 垂直于 m。
• 性质：
  • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）
• 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
• 应用： 作垂线，求点到直线的距离，解决实际问题。

1.3 同位角、内错角、同旁内角

• 定义： 两条直线被第三条直线所截，形成的角按照位置关系可以分为同位角、内错角、同旁内角。
• 识别： 准确判断同位角、内错角、同旁内角，是掌握平行线性质和判定的基础。
• 应用： 用于证明平行线的性质和判定。

2. 平行线及其判定

2.1 平行线的定义与表示

• 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
• 表示： 记作 l ∥ m，读作 l 平行于 m。
• 公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

2.2 平行线的判定

• 方法一： 同位角相等，两直线平行。
• 方法二： 内错角相等，两直线平行。
• 方法三： 同旁内角互补，两直线平行。
• 方法四： 同平行于一条直线的两直线平行。
• 应用： 证明两直线平行，为后续的性质应用提供依据。

3. 平行线的性质

3.1 性质

• 性质一： 两直线平行，同位角相等。
• 性质二： 两直线平行，内错角相等。
• 性质三： 两直线平行，同旁内角互补。

3.2 应用

• 已知平行关系，求角度。
• 证明角度之间的关系。
• 解决简单的几何问题。

4. 平移

4.1 定义

• 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

4.2 性质

• 平移不改变图形的形状和大小。
• 经过平移，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
• 平移前后，对应角相等。

4.3 应用

• 作平移后的图形。
• 利用平移解决实际问题，例如铺地板、设计图案等。

二、第六章：实数

1. 平方根

1.1 算术平方根

• 定义： 如果一个正数x的平方等于a，即x² = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。0的算术平方根是0。
• 表示： √a (a ≥ 0)
• 性质： 算术平方根非负。

1.2 平方根

• 定义： 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根。
• 表示： ±√a (a ≥ 0)
• 性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2. 立方根

2.1 定义

• 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根。

2.2 表示

• ∛a

2.3 性质

• 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。

3. 实数

3.1 定义

• 有理数和无理数统称为实数。

3.2 分类

• 按定义分：
  • 实数 { 有理数 { 正有理数, 0, 负有理数 }, 无理数 { 正无理数, 负无理数 } }
• 按性质分：
  • 实数 { 正实数, 0, 负实数 }

3.3 数轴

• 实数与数轴上的点一一对应。

3.4 绝对值

• 实数a的绝对值：
  • |a| = a (a ≥ 0)
  • |a| = -a (a < 0)

3.5 实数的运算

• 实数的运算与有理数的运算类似，注意运算顺序和符号。
• 实数大小的比较

三、第七章：平面直角坐标系

1. 有序数对

1.1 定义

• 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作(a, b)。

1.2 意义

• 有序数对可以准确地表示平面内一个点的位置。

2. 平面直角坐标系

2.1 组成

• 在同一个平面内，互相垂直且有公共原点的两条数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，两轴的交点O叫做坐标原点。

2.2 象限

• 坐标轴将平面分成四个区域，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意坐标轴上的点不属于任何象限。

2.3 点的坐标

• 对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴和y轴上对应的数a和b，就叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标。

2.4 坐标的特点

• 第一象限：(+ , +)
• 第二象限：(- , +)
• 第三象限：(- , -)
• 第四象限：(+ , -)
• x轴上的点：(x, 0)
• y轴上的点：(0, y)
• 原点：(0, 0)

2.5 应用

• 利用坐标表示地理位置、绘制地图等。
• 解决几何问题。

四、第八章：二元一次方程组

1. 二元一次方程

1.1 定义

• 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

1.2 二元一次方程的解

• 使二元一次方程两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
• 一个二元一次方程有无数个解。

2. 二元一次方程组

2.1 定义

• 由两个二元一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组。

2.2 二元一次方程组的解

• 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
• 二元一次方程组的解是唯一的。

3. 解二元一次方程组

3.1 代入消元法

• 将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求得解，再求另一个未知数的值。

3.2 加减消元法

• 将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求得解，再求另一个未知数的值。

3.3 选择方法

• 根据方程组的特点选择合适的解法，例如当一个方程中某个未知数的系数是1或-1时，通常用代入消元法；当两个方程中某个未知数的系数绝对值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法。

4. 二元一次方程组的应用

4.1 列方程组解应用题的步骤

• 审题：理解题意，明确已知量和未知量以及它们之间的关系。
• 设元：根据题意，设两个未知数为x和y。
• 列方程组：根据等量关系列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组。
• 解方程组：解所列的二元一次方程组。
• 检验：检验解是否符合题意。
• 答：写出答案。

4.2 常见题型

• 行程问题
• 工程问题
• 利润问题
• 配套问题

五、第九章：不等式与不等式组

1. 不等式

1.1 定义

• 用不等号连接的，表示数量之间不等关系的式子叫做不等式。

1.2 不等号

• ＞（大于），＜（小于），≥（大于等于），≤（小于等于），≠（不等于）

1.3 不等式的性质

• 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
• 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2. 不等式的解集

2.1 定义

• 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
• 一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

2.2 表示

• 用不等式表示：例如x > 3
• 用数轴表示：注意空心圆圈和实心圆点，以及箭头方向。

3. 一元一次不等式

3.1 定义

• 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

3.2 解法

• 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，注意不等号的方向。

4. 一元一次不等式组

4.1 定义

• 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

4.2 解集

• 组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

4.3 解法

• 分别解出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，找出公共部分。

4.4 特殊情况

• 无解：各个不等式的解集没有公共部分。
• 解集为一个区间：各个不等式的解集有重叠部分。

4.5 应用

• 列不等式(组)解应用题，注意找出题中的不等关系。
• 解决实际问题，例如分配问题、方案选择问题等。

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