《数学七上和七下的思维导图》
一、七年级上册
1. 有理数
1.1. 概念
- 1.1.1. 正数与负数
- 定义：大于0的数称为正数，小于0的数称为负数。
- 意义：表示具有相反意义的量。
- 1.1.2. 有理数
- 整数：正整数、0、负整数。
- 分数：正分数、负分数。
- 有理数分类：按定义（正有理数、0、负有理数），按性质符号（正数、0、负数）。
1.2. 数轴
- 1.2.1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线。
- 1.2.2. 要素：原点、正方向、单位长度。
- 1.2.3. 作用：直观地表示数，比较大小。
1.3. 绝对值
- 1.3.1. 定义：数轴上表示这个数的点到原点的距离。
- 1.3.2. 表示：|a|
- 1.3.3. 性质：非负性 (|a| ≥ 0)，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
- 1.3.4. 绝对值的化简：分类讨论，依据绝对值内部数值的正负。
1.4. 有理数的运算
- 1.4.1. 加法
- 法则：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 运算律：交换律、结合律。
- 1.4.2. 减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 1.4.3. 乘法
- 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。
- 运算律：交换律、结合律、分配律。
- 1.4.4. 除法
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 1.4.5. 乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算。
- 表示：aⁿ（a为底数，n为指数）。
- 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
- 1.4.6. 混合运算
- 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；有括号的，先算括号内的。
1.5. 科学计数法
- 1.5.1. 定义：将一个大于10或小于-10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。
2. 整式的加减
2.1. 单项式
- 2.1.1. 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或一个字母也是单项式）。
- 2.1.2. 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
- 2.1.3. 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
2.2. 多项式
- 2.2.1. 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 2.2.2. 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的一个项，不含字母的项叫做常数项。
- 2.2.3. 次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
2.3. 整式
- 2.3.1. 定义：单项式和多项式统称为整式。
2.4. 同类项
- 2.4.1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
- 2.4.2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2.5. 整式的加减
- 2.5.1. 法则：先去括号，再合并同类项。
3. 一元一次方程
3.1. 方程
- 3.1.1. 定义：含有未知数的等式叫做方程。
3.2. 一元一次方程
- 3.2.1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。
- 3.2.2. 标准形式：ax + b = 0 (a≠0)。
3.3. 解方程
- 3.3.1. 定义：求方程的解的过程叫做解方程。
- 3.3.2. 解的意义：使方程左右两边相等的未知数的值。
- 3.3.3. 解方程的步骤：
- 去分母
- 去括号
- 移项
- 合并同类项
- 系数化为1
3.4. 列方程解应用题
- 3.4.1. 步骤：
- 审题
- 设未知数
- 列方程
- 解方程
- 检验
- 答
4. 图形的初步认识
4.1. 立体图形与平面图形
- 4.1.1. 立体图形：从不同方向看得到不同的平面图形。
- 4.1.2. 平面图形：图形的各部分都在同一平面内。
4.2. 线段、射线、直线
- 4.2.1. 线段：有两个端点。
- 4.2.2. 射线：只有一个端点，向一方无限延伸。
- 4.2.3. 直线：没有端点，向两方无限延伸。
- 4.2.4. 两点确定一条直线。
- 4.2.5. 两点之间，线段最短。
4.3. 角
- 4.3.1. 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。
- 4.3.2. 角度的度量：度、分、秒。
- 4.3.3. 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
- 4.3.4. 余角和补角：互余（和为90°）、互补（和为180°）。
二、七年级下册
1. 相交线与平行线
1.1. 相交线
- 1.1.1. 邻补角：有公共顶点，一条公共边，另一条边互为反向延长线。
- 1.1.2. 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。对顶角相等。
- 1.1.3. 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
- 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
1.2. 平行线
- 1.2.1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 1.2.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 1.2.3. 平行线的判定：
- 同位角相等，两直线平行。
- 内错角相等，两直线平行。
- 同旁内角互补，两直线平行。
- 1.2.4. 平行线的性质：
- 两直线平行，同位角相等。
- 两直线平行，内错角相等。
- 两直线平行，同旁内角互补。
- 1.2.5. 平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换。平移不改变图形的形状和大小。
2. 实数
2.1. 平方根
- 2.1.1. 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
- 2.1.2. 表示：±√a (a≥0)
- 2.1.3. 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
2.2. 算术平方根
- 2.2.1. 定义：正数a的正的平方根，记作√a。
- 2.2.2. 性质：√a ≥ 0 (a≥0)
2.3. 立方根
- 2.3.1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
- 2.3.2. 表示：∛a
- 2.3.3. 性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
2.4. 实数
- 2.4.1. 有理数：有限小数或无限循环小数。
- 2.4.2. 无理数：无限不循环小数。
- 2.4.3. 实数：有理数和无理数统称为实数。
- 2.4.4. 实数与数轴上的点一一对应。
3. 二元一次方程组
3.1. 二元一次方程
- 3.1.1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程。
3.2. 二元一次方程组
- 3.2.1. 定义：由两个或两个以上的二元一次方程组成的一组方程。
3.3. 解二元一次方程组
- 3.3.1. 代入消元法：将一个方程中的未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数。
- 3.3.2. 加减消元法：将两个方程适当变形，使同一未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加减运算消去一个未知数。
3.4. 列二元一次方程组解应用题
- 步骤类似一元一次方程应用题，但需要设两个未知数。
4. 不等式与不等式组
4.1. 不等式
- 4.1.1. 定义：用不等号连接的式子。
- 4.1.2. 不等号：＞，＜，≥，≤，≠
- 4.1.3. 不等式的性质：
- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.2. 一元一次不等式
- 4.2.1. 定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的不等式。
4.3. 不等式的解集
- 4.3.1. 定义：使不等式成立的未知数的值的集合。
4.4. 解一元一次不等式
- 解法类似一元一次方程，但要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.5. 一元一次不等式组
- 4.5.1. 定义：由几个一元一次不等式组成的不等式组。
- 4.5.2. 解集：各个不等式解集的公共部分。
- 4.5.3. 确定解集的方法：数轴法。
5. 数据的收集、整理与描述
5.1. 数据的收集
- 抽样调查：从总体中抽取一部分个体进行调查。
5.2. 数据的整理
- 统计表
- 频数分布直方图：展示数据在不同范围内的分布情况。
5.3. 数据的描述
- 平均数：所有数据的和除以数据的个数。
- 中位数：将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据（或中间两个数据的平均数）。
- 众数：出现次数最多的数据。