《数学思维导图七年级上》

一、有理数

1.1 正数与负数

1.1.1 概念

• 正数: 大于0的数。
• 负数: 小于0的数。
• 0: 既不是正数也不是负数。

1.1.2 应用

• 表示相反意义的量：例如，收入和支出，上升和下降，盈利和亏损。

1.2 有理数

1.2.1 定义

• 整数: 正整数、0、负整数。
• 分数: 正分数、负分数。
• 有理数: 整数和分数的统称，能表示成两个整数之比的数。

1.2.2 分类

• 按定义分类:
  • 有理数
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
• 按性质符号分类:
  • 有理数
    • 正有理数
      • 正整数
      • 正分数
    • 0
    • 负有理数
      • 负整数
      • 负分数

1.2.3 数轴

• 定义: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
• 作用: 直观地表示数，比较数的大小。
• 要素: 原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。

1.2.4 相反数

• 定义: 只有符号不同的两个数互为相反数。
• 性质: a的相反数是-a；0的相反数是0。
• 几何意义: 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。

1.2.5 绝对值

• 定义: 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
• 性质:
  • 正数的绝对值是它本身。
  • 负数的绝对值是它的相反数。
  • 0的绝对值是0。
  • |a|≥0 恒成立
• 表达式:
  • |a| = a (当 a ≥ 0 时)
  • |a| = -a (当 a < 0 时)

1.2.6 有理数的大小比较

• 数轴法: 数轴上右边的数总比左边的数大。
• 正负性: 正数 > 0 > 负数，两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的运算

1.3.1 加法

• 法则:
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 运算律:
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

1.3.2 减法

• 法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)

1.3.3 乘法

• 法则:
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数与0相乘，都得0。
• 运算律:
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

1.3.4 除法

• 法则: 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
• 注意: 0不能作除数。

1.3.5 乘方

• 定义: 求n个相同因数的积的运算叫做乘方。 记作 aⁿ
• 概念: aⁿ 中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ 叫做幂。
• 符号法则:
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
  • 0的任何正整数次幂都是0。

1.3.6 混合运算

• 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的，同一级运算按从左到右的顺序进行。

1.4 科学计数法

• 定义: 将一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1≤|a|<10，n为正整数。
• 应用: 方便表示较大的数。

二、整式的加减

2.1 代数式

2.1.1 定义

• 用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
• 单独一个数或一个字母也是代数式。

2.1.2 代数式的值

• 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.2 单项式

2.2.1 定义

• 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
• 系数: 单项式中的数字因数。
• 次数: 单项式中所有字母的指数的和。

2.3 多项式

2.3.1 定义

• 几个单项式的和叫做多项式。
• 项: 多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
• 常数项: 不含字母的项。
• 次数: 多项式中次数最高的项的次数。

2.4 整式

2.4.1 定义

• 单项式和多项式统称为整式。

2.5 同类项

2.5.1 定义

• 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
• 所有的常数项都是同类项。

2.5.2 合并同类项

• 法则: 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.6 去括号与添括号

2.6.1 去括号法则

• 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
• 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。

2.6.2 添括号法则

• 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
• 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.7 整式的加减

• 步骤:
  • 去括号。
  • 合并同类项。

三、一元一次方程

3.1 方程

3.1.1 定义

• 含有未知数的等式叫做方程。

3.1.2 一元一次方程

• 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程。

3.2 方程的解

3.2.1 定义

• 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.3 解一元一次方程

3.3.1 等式的性质

• 性质1: 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
• 性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.3.2 解方程的基本步骤

• 去分母: 在方程两边同乘所有分母的最小公倍数。
• 去括号: 运用去括号法则。
• 移项: 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，移项要改变符号。
• 合并同类项: 把方程化为 ax = b 的形式。
• 系数化为1: 在方程两边同除以未知数的系数，得到 x = b/a。

3.4 应用题

3.4.1 列方程解应用题的步骤

• 审题: 理解题意，弄清已知量和未知量及其关系。
• 设未知数: 一般设所求的量为未知数。
• 列方程: 根据题中的等量关系列出方程。
• 解方程: 求出方程的解。
• 检验: 检验所求的解是否符合题意。
• 答: 写出答案。

3.4.2 常见题型

• 行程问题：路程 = 速度 × 时间
• 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
• 利润问题：利润 = 售价 - 成本， 利润率 = 利润 / 成本 × 100%
• 数字问题
• 年龄问题
• 储蓄问题
• 分配问题

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