《数学七年级思维导图》
一、有理数
1. 概念
- 1.1 正数与负数
- 意义：表示具有相反意义的量
- 区分：正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数
- 1.2 有理数
- 定义：整数和分数的统称
- 分类：
- 按定义分：正整数、0、负整数、正分数、负分数
- 按性质分：正有理数、0、负有理数
- 1.3 数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 作用：
- 直观表示数
- 比较大小
- 1.4 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数
- 性质：和为0，即 a + (-a) = 0
- 1.5 绝对值
- 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离
- 代数意义：
- a > 0 时，|a| = a
- a = 0 时，|a| = 0
- a < 0 时，|a| = -a
- 非负性：|a| ≥ 0
2. 运算
- 2.1 有理数的加法
- 法则：
- 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 一个数同0相加，仍得这个数
- 运算律：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 法则：
- 2.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)
- 2.3 有理数的乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数同0相乘，都得0
- 运算律：
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
- 法则：
- 2.4 有理数的除法
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 2.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，即 a^n = a × a × ... × a (n个a)
- 幂、底数、指数
- 符号法则：
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
- 2.6 科学记数法
- 形式：a × 10^n (1 ≤ |a| < 10，n为整数)
- 2.7 近似数
- 精确度
- 有效数字
- 2.8 有理数的混合运算
- 运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右
二、整式
1. 概念
- 1.1 单项式
- 定义：由数与字母的积组成的代数式
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：单项式中所有字母的指数的和
- 1.2 多项式
- 定义：几个单项式的和组成的代数式
- 项：多项式中的每个单项式
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
- 常数项：不含字母的项
- 1.3 整式
- 定义：单项式和多项式的统称
2. 运算
- 2.1 合并同类项
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
- 2.2 去括号与添括号
- 去括号法则：
- 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号
- 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号
- 添括号法则：与去括号法则相反
- 去括号法则：
- 2.3 整式的加减
- 步骤：
- 去括号
- 合并同类项
- 步骤：
三、一元一次方程
1. 概念
- 1.1 方程
- 定义：含有未知数的等式
- 1.2 一元一次方程
- 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程
- 1.3 方程的解
- 定义：使方程左右两边相等的未知数的值
- 1.4 解方程
- 定义：求方程的解的过程
2. 解法
- 2.1 等式的性质
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
- 2.2 解一元一次方程的步骤
- 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
- 去括号
- 移项（把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号）
- 合并同类项
- 系数化为1（方程两边同除以未知数的系数）
3. 应用
- 3.1 列方程解应用题
- 审题：弄清题意，找出已知条件和未知量
- 设未知数：一般设所求的量为未知数
- 找等量关系：找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系
- 列方程：根据等量关系列出方程
- 解方程：求出方程的解
- 检验：检验所求的解是否符合题意
- 答：写出答案
- 3.2 常见题型
- 行程问题
- 工程问题
- 销售问题
- 分配问题
- 数字问题
四、几何图形初步
1. 基本图形
- 1.1 点、线、面、体
- 点：没有大小，是组成图形的基本元素
- 线：线动成面
- 面：面动成体
- 体：占据空间的一部分
- 1.2 线段、射线、直线
- 线段：有两个端点，可以度量
- 射线：只有一个端点，可以向一方无限延伸，不可以度量
- 直线：没有端点，可以向两方无限延伸，不可以度量
- 1.3 角
- 定义：有公共端点的两条射线组成的图形
- 表示方法：∠AOB、∠1、∠α
- 角的度量：度、分、秒 (1° = 60', 1' = 60")
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角
2. 图形间的关系
- 2.1 线段的大小比较
- 叠合法
- 度量法
- 2.2 线段的中点
- 定义：把一条线段分成两条相等的线段的点
- 性质：若M是线段AB的中点，则AM = MB = 1/2 AB
- 2.3 角的大小比较
- 叠合法
- 度量法
- 2.4 角的平分线
- 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线
- 性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB
- 2.5 余角和补角
- 余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角
- 补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角
- 性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等
3. 立体图形
- 3.1 棱柱
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体
- 要素：底面、侧面、棱、顶点
- 3.2 圆柱、圆锥、球
- 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体
- 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体
- 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体
- 3.3 展开图
- 将立体图形的表面展开成平面图形