《数学思维导图七年级下》

一、 整式的乘除

1.1 幂的运算

1.1.1 同底数幂的乘法

• 法则： a^m ⋅ aⁿ = a^m+n (m,n是正整数)
• 理解： 底数不变，指数相加
• 注意：
  • 底数相同
  • 幂的运算
  • 多个同底数幂相乘

1.1.2 幂的乘方

• 法则： (a^m)ⁿ = a^mn (m,n是正整数)
• 理解： 底数不变，指数相乘
• 注意：
  • 幂的再乘方

1.1.3 积的乘方

• 法则： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n是正整数)
• 理解： 把积中的每个因式分别乘方
• 注意：
  • 积的乘方
  • 逆用：aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

1.1.4 同底数幂的除法

• 法则： a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a≠0, m,n是正整数, m>n)
• 理解： 底数不变，指数相减
• 注意：
  • 底数相同且不为0
  • 除法运算
  • m>n

1.1.5 零指数幂与负整数指数幂

• 零指数幂： a⁰ = 1 (a≠0)
• 负整数指数幂： a^-p = 1/a^p (a≠0, p是正整数)
• 注意：
  • 底数不为0

1.2 整式的乘法

1.2.1 单项式乘以单项式

• 法则： 系数相乘，相同字母的幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
• 步骤：
  1. 系数相乘
  2. 同底数幂相乘
  3. 单独的字母照抄

1.2.2 单项式乘以多项式

• 法则： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
• 公式： m(a+b+c) = ma + mb + mc
• 注意：
  • 分配律
  • 符号问题

1.2.3 多项式乘以多项式

• 法则： 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
• 公式： (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 注意：
  • 按顺序乘
  • 不漏项，不重复项

1.3 乘法公式

1.3.1 平方差公式

• 公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
• 特征：
  • 两个数的和与这两个数的差的积
  • 结果：这两个数的平方差
• 灵活运用： 逆用公式，整体思想

1.3.2 完全平方公式

• 公式： (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 特征：
  • 两数和(差)的平方
  • 结果：两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍
• 灵活运用： 逆用公式，配方法

1.4 整式的除法

1.4.1 单项式除以单项式

• 法则： 系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
• 步骤：
  1. 系数相除
  2. 同底数幂相除
  3. 单独的字母照抄

1.4.2 多项式除以单项式

• 法则： 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
• 公式： (am + bm + cm) ÷ m = a + b + c
• 注意：
  • 每一项都要除
  • 符号问题

二、 三角形

2.1 与三角形有关的线段

2.1.1 三角形的定义

• 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

2.1.2 三角形的分类

• 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
• 按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）

2.1.3 三角形的三边关系

• 三角形任意两边之和大于第三边
• 三角形任意两边之差小于第三边

2.1.4 三角形的重要线段

• 高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
• 中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。
• 角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

2.2 与三角形有关的角

2.2.1 三角形的内角和

• 三角形的内角和等于180°

2.2.2 三角形的外角

• 定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
• 性质：
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2.3 多边形及其内角和

2.3.1 多边形的定义

• 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形

2.3.2 正多边形

• 各个角都相等，各条边都相等的多边形

2.3.3 多边形的内角和

• n边形的内角和等于(n-2)×180°

2.3.4 多边形的外角和

• 多边形的外角和等于360°

三、 二元一次方程组

3.1 二元一次方程（组）的定义

• 二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
• 二元一次方程组： 由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组。

3.2 二元一次方程组的解法

3.2.1 代入消元法

• 步骤：
  1. 选取一个方程，将其中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。
  2. 将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
  4. 将求出的未知数的值代入用含有另一个未知数的代数式表示出来的方程，求出另一个未知数的值。
  5. 写出方程组的解。

3.2.2 加减消元法

• 步骤：
  1. 观察方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值是否相等。
  2. 若不相等，则将两个方程同时乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等。
  3. 将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  4. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
  5. 将求出的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
  6. 写出方程组的解。

3.3 二元一次方程组的应用

• 步骤：
  1. 审题，明确题意，找出等量关系。
  2. 设未知数，通常设要求的量为未知数。
  3. 列方程组，根据等量关系列出方程组。
  4. 解方程组，求出未知数的值。
  5. 检验，看求出的解是否符合题意。
  6. 答，写出答案。

四、 不等式与不等式组

4.1 不等式的基本概念

• 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子叫做不等式。

4.2 不等式的性质

• 性质1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
• 性质2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 性质3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4.3 解一元一次不等式

• 步骤：
  1. 去分母
  2. 去括号
  3. 移项
  4. 合并同类项
  5. 系数化为1（注意不等号的方向）

4.4 一元一次不等式组

• 定义： 含有同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

4.5 解一元一次不等式组

• 步骤：
  1. 分别解出不等式组中每一个不等式的解集。
  2. 将各个不等式的解集在数轴上表示出来。
  3. 根据数轴，确定不等式组的解集。
• 口诀： 大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到。

4.6 不等式（组）的应用

• 同二元一次方程组的应用相似，关键在于找到不等关系，并列出不等式（组）。

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