《九上数学第一章思维导图》
一、章标题：二次函数
1. 定义及图像
1.1 二次函数的定义
- 定义式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，其中 a, b, c 为常数
- 关键点： a ≠ 0，变量x的最高次数为2
- 一般形式： y = ax² + bx + c
- 顶点式： y = a(x - h)² + k，(h, k) 为顶点坐标
- 交点式： y = a(x - x₁)(x - x₂)，x₁, x₂ 为与 x 轴的两个交点坐标
1.2 二次函数的图像 - 抛物线
- 开口方向：
- a > 0，开口向上
- a < 0，开口向下
- 对称轴： 直线 x = -b / 2a
- 顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k)
- 对称性： 关于对称轴对称
- 极值：
- a > 0，有最小值，ymin = (4ac - b²) / 4a 或 k
- a < 0，有最大值，ymax = (4ac - b²) / 4a 或 k
- 与 x 轴的交点：
- Δ = b² - 4ac > 0，有两个交点
- Δ = b² - 4ac = 0，有一个交点 (与x轴相切)
- Δ = b² - 4ac < 0，没有交点
1.3 图象的平移
- 平移规律： 左加右减，上加下减
- 顶点式视角： y = a(x - h)² + k，h 控制左右平移，k 控制上下平移
2. 二次函数的性质
2.1 开口方向的影响
- a > 0：开口向上，在对称轴左侧y随x减小，右侧y随x增大。
- a < 0：开口向下，在对称轴左侧y随x增大，右侧y随x减小。
2.2 对称轴的影响
- 对称轴的位置决定了抛物线与 x 轴交点的位置关系。
- 对称轴 x = -b / 2a
2.3 顶点的影响
- 顶点的纵坐标决定了函数的最大值或最小值。
- 顶点是抛物线的关键点。
2.4 与 x 轴交点的影响
- 与 x 轴交点的个数由 Δ = b² - 4ac 决定。
- 交点坐标可以用来解方程和不等式。
3. 二次函数表达式的确定
3.1 待定系数法
- 一般式： 已知三个点的坐标，代入 y = ax² + bx + c 解三元一次方程组。
- 顶点式： 已知顶点坐标和另一个点的坐标，代入 y = a(x - h)² + k 解 a。
- 交点式： 已知与 x 轴的两个交点坐标和另一个点的坐标，代入 y = a(x - x₁)(x - x₂) 解 a。
3.2 选择合适的表达式
- 根据已知条件选择最合适的表达式，简化计算过程。
4. 二次函数的应用
4.1 最大值/最小值问题
- 利用顶点坐标或配方法求最大值或最小值。
- 实际问题中，需考虑变量的取值范围。
- 例如：利润最大化，面积最大化等。
4.2 与几何图形结合
- 二次函数与直线、三角形、四边形等结合。
- 利用函数性质解决几何问题，如求面积、周长等。
- 坐标系内点的表示，距离的计算。
4.3 实际问题建模
- 将实际问题转化为二次函数模型。
- 分析问题，建立函数关系式。
- 求解函数的最值，并解释实际意义。
- 注意自变量的实际意义和取值范围。
5. 二次函数与一元二次方程的关系
5.1 一元二次方程的根与抛物线和x轴交点的关系
- 方程 ax² + bx + c = 0 的根是函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴交点的横坐标。
- Δ > 0，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点。
- Δ = 0，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有一个交点。
- Δ < 0，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。
5.2 利用二次函数解一元二次方程
- 通过观察抛物线与 x 轴的交点，判断方程是否有根及根的个数。
5.3 利用二次函数解一元二次不等式
- 通过观察抛物线在 x 轴上方或下方的部分，确定不等式的解集。
- 例如 ax² + bx + c > 0 的解集是抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值范围。
6. 综合应用
6.1 数形结合思想的应用
- 利用图像的直观性，解决代数问题。
- 利用代数的严谨性，分析图像的性质。
6.2 分类讨论思想的应用
- 根据参数的不同取值，分类讨论函数图像的性质。
- 例如，讨论 a 的符号对开口方向的影响，b 的符号对对称轴位置的影响。
6.3 函数思想的应用
- 将实际问题转化为函数问题，利用函数性质解决问题。
- 关注自变量的取值范围，确保解的合理性。
This comprehensive mind map provides a detailed outline of the first chapter of ninth-grade mathematics, focusing on quadratic functions. It covers the definition, properties, graphical representation, and applications of quadratic functions, highlighting the connections between quadratic functions and quadratic equations and inequalities. The inclusion of problem-solving strategies like the method of undetermined coefficients and the use of mathematical thinking such as combining numerical and graphical approaches, classification discussion, and functional thinking, ensures a thorough understanding of the subject matter.