《数学五年级下思维导图》

一、 数与代数

1. 因数与倍数

1.1 基本概念

• 因数: 若整数a能被整数b整除(a÷b的商是整数且没有余数)，则b是a的因数。
• 倍数: 若整数a能被整数b整除(a÷b的商是整数且没有余数)，则a是b的倍数。
• 找因数: 从1开始，一对一对找，直到找到重复的因数。 例如：12的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12
• 找倍数: 从这个数本身开始，依次乘以1, 2, 3... 例如：3的倍数：3, 6, 9, 12...

1.2 特殊因数与倍数

• 1的因数: 只有1个，就是它本身。
• 任何数的因数: 最小的因数是1，最大的因数是它本身。
• 任何数的倍数: 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
• 0的因数: 任何非零自然数都是0的因数。
• 0的倍数: 0是所有非零自然数的倍数。

1.3 2, 5, 3的倍数特征

• 2的倍数(偶数): 个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
• 5的倍数: 个位是0或5的数。
• 3的倍数: 各个数位上的数字之和是3的倍数。

1.4 质数与合数

• 质数: 只有1和它本身两个因数的数。（1既不是质数也不是合数）
• 合数: 除了1和它本身外，还有其他因数的数。（1既不是质数也不是合数）
• 1既不是质数也不是合数。
• 最小的质数是2，最小的合数是4。
• 分解质因数: 将一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 例如：12 = 2 x 2 x 3

1.5 最大公因数与最小公倍数

• 公因数: 几个数共有的因数。
• 最大公因数: 几个数共有的因数中最大的一个。
  • 求法:
    • 列举法: 列举出所有因数，找出共同的，最大的。 适合数字较小的情况。
    • 短除法: 用这几个数共有的质因数去除，直到没有公因数为止，所有除数的乘积就是最大公因数。
• 公倍数: 几个数共有的倍数。
• 最小公倍数: 几个数共有的倍数中最小的一个。
  • 求法:
    • 列举法: 列举出所有倍数，找出共同的，最小的。 适合数字较小的情况。
    • 短除法: 用这几个数共有的质因数去除，直到没有公因数为止，所有除数和最后商的乘积就是最小公倍数。
• 互质数: 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
  • 特例: 1和任何自然数互质。
  • 结论: 两个不同的质数一定互质；相邻的两个自然数一定互质；如果两个数中一个为质数，另一个不是这个质数的倍数，那么这两个数也互质。

2. 分数的意义和性质

2.1 分数的意义

• 分数的产生: 为了平均分一些不能得到整数结果的量。
• 分数的意义: 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
• 分数单位: 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。 例如：1/4 的分数单位是 1/4。
• 真分数: 分子小于分母的分数。 真分数小于1。
• 假分数: 分子大于或等于分母的分数。 假分数大于或等于1。
• 带分数: 由整数和真分数组成的分数。
• 假分数化成整数或带分数: 用分子除以分母，能整除的化成整数，不能整除的化成带分数。
• 带分数化成假分数: 用整数乘以分母加上分子作为分子，分母不变。

2.2 分数的基本性质

• 分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
• 约分: 把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
  • 最简分数: 分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。
• 通分: 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
  • 公分母: 通分时所选用的相同的分母。 通常用原来几个分母的最小公倍数作公分母。

2.3 分数的大小比较

• 同分母分数: 分子大的分数大。
• 同分子分数: 分母小的分数大。
• 异分母分数: 先通分，再比较大小。

3. 分数的加法和减法

3.1 同分母分数加减法

• 计算方法: 分母不变，分子相加减。
• 结果: 结果能约分的要约成最简分数。

3.2 异分母分数加减法

• 计算方法: 先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。
• 结果: 结果能约分的要约成最简分数。

3.3 带分数加减法

• 计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。 如果分数部分不够减，要从整数部分退1作分数。
• 结果: 结果能约分的要约成最简分数。

3.4 分数加减混合运算

• 运算顺序: 与整数加减混合运算的顺序相同。 有括号的先算括号里面的，没有括号的按从左到右的顺序计算。
• 简便运算: 整数加法的运算定律，对分数加法同样适用。

二、 图形与几何

1. 图形的变换

1.1 轴对称

• 轴对称图形: 如果一个图形沿一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 性质: 对应点到对称轴的距离相等；对应线段相等；对应角相等。
• 画轴对称图形的另一半: 找到关键点的对称点，依次连接。

1.2 旋转

• 旋转: 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转。 这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
• 性质: 旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。 对应点到旋转中心的距离相等；对应角相等；对应线段相等。
• 顺时针旋转: 按照钟表指针方向的旋转。
• 逆时针旋转: 按照与钟表指针方向相反方向的旋转。

1.3 平移

• 平移: 在平面内，将一个图形整体沿着某一方向移动一定的距离的图形变换叫做平移。
• 性质: 平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。 对应点之间的距离相等；对应线段相等；对应角相等。

2. 长方体和正方体

2.1 认识长方体和正方体

• 长方体: 有6个面，相对的面完全相同，至少有4个面是长方形，也可能6个面都是长方形。 特殊情况下，有两个相对的面是正方形。
• 正方体: 有6个完全相同的正方形的面。
• 顶点: 长方体和正方体都有8个顶点。
• 棱: 长方体和正方体都有12条棱。
• 长、宽、高: 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
• 棱长: 正方体的12条棱的长度都相等，都叫做棱长。

2.2 表面积

• 表面积: 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
• 长方体的表面积: (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 S = 2(ab + ah + bh)
• 正方体的表面积: 棱长×棱长×6 S = 6a²

2.3 体积

• 体积: 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
• 常用的体积单位: 立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)
• 容积: 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。
• 常用的容积单位: 升(L)、毫升(mL)
• 体积单位换算: 1 m³ = 1000 dm³； 1 dm³ = 1000 cm³； 1 dm³ = 1 L； 1 cm³ = 1 mL
• 长方体的体积: 长×宽×高 V = abh
• 正方体的体积: 棱长×棱长×棱长 V = a³
• 长方体或正方体的统一体积公式: 底面积×高 V = Sh

三、 统计与概率

1. 统计

1.1 复式折线统计图

• 复式折线统计图: 用两条或两条以上的折线表示两组或两组以上数据的统计图。
• 特点: 不但能表示每组数据的变化趋势，还能方便地比较不同组数据的变化情况。
• 制作步骤:
  1. 确定横轴和纵轴，标出刻度。
  2. 根据数据，描点、连线。
  3. 注明图例，写明标题和日期。

四、 数学广角

1. 鸽巢问题（抽屉原理）

• 基本形式: 把n+1个物体放入n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放2个物体。
• 一般形式: 把n个物体放入m个抽屉里，其中必有一个抽屉里至少放入[n/m]+1个物体。（[n/m]表示n/m的整数部分）

五、 总复习

• 对以上各个知识点进行回顾和巩固，查漏补缺。
• 进行综合性练习，提高解题能力。
• 注重应用题的分析和解答。

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