《数学七年级上册思维导图》

一、有理数

1.1 正数与负数

1.1.1 定义

• 正数：大于0的数，可以在前面加上“+”（正号）表示，也可省略。
• 负数：小于0的数，必须在前面加上“—”（负号）表示。
• 0：既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界。

1.1.2 表示方法

• 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 原点：数轴上表示0的点。
  • 正方向：数轴上箭头所指的方向。
  • 单位长度：数轴上相邻两个刻度之间的长度。
• 生活中的应用：用正负数表示相反意义的量。

1.2 有理数

1.2.1 定义

• 整数：正整数、0、负整数的统称。
• 分数：正分数、负分数的统称。
• 有理数：整数和分数的统称。
  • 分类：
    • 按定义分：{有理数 {整数 {正整数 , 0 , 负整数}, 分数 {正分数 , 负分数} }
    • 按性质分：{有理数 {正有理数 {正整数, 正分数} , 0, 负有理数 {负整数, 负分数} }

1.2.2 数轴的应用

• 表示有理数：数轴上的点可以表示任意有理数。
• 比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

1.2.3 相反数

• 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
• 性质：a的相反数是-a；0的相反数是0。
• 几何意义：数轴上表示相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

1.2.4 绝对值

• 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
• 性质：
  • 正数的绝对值是它本身。
  • 负数的绝对值是它的相反数。
  • 0的绝对值是0。
  • 用符号表示：|a| = {a, a>0; 0, a=0; -a, a<0}
• 非负性：|a| ≥ 0

1.3 有理数的加减法

1.3.1 加法

• 法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 运算律：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

1.3.2 减法

• 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a - b = a + (-b)

1.4 有理数的乘除法

1.4.1 乘法

• 法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
• 运算律：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

1.4.2 除法

• 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
• 化简：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0的数都得0。

1.4.3 倒数

• 定义：乘积是1的两个数互为倒数。
• 表示：a的倒数是1/a (a≠0)。

1.5 有理数的乘方

1.5.1 定义

• 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
• 幂：乘方的结果叫做幂。
• 底数：在an中，a叫做底数。
• 指数：在an中，n叫做指数。
• an的读法：a的n次方，或a的n次幂。

1.5.2 运算

• 正数的任何次幂都是正数。
• 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
• 0的任何正整数次幂都是0。

1.5.3 科学计数法

• 定义：将一个大于10或小于-10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。
• n的确定：n等于原数的整数位数减1。

1.5.4 近似数

• 精确度：近似数与准确数的接近程度。
• 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

1.6 有理数的混合运算

1.6.1 运算顺序

• 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
• 同级运算，从左到右进行。
• 如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

二、整式的加减

2.1 代数式

2.1.1 定义

• 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。
• 单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.1.2 列代数式

• 用代数式表示数量关系。
• 注意书写规范。

2.1.3 代数式的值

• 用具体数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果。

2.2 单项式

2.2.1 定义

• 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
• 分母中含有字母的不是单项式。

2.2.2 系数

• 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
• 当系数为1或-1时，“1”通常省略不写。

2.2.3 次数

• 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.3 多项式

2.3.1 定义

• 几个单项式的和叫做多项式。

2.3.2 项

• 多项式中的每一个单项式叫做多项式的一个项。
• 不含字母的项叫做常数项。

2.3.3 次数

• 多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2.3.4 整式

• 单项式和多项式统称为整式。

2.4 同类项

2.4.1 定义

• 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
• 所有的常数项也看做同类项。

2.4.2 合并同类项

• 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.5 去括号与添括号

2.5.1 去括号法则

• 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
• 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。

2.5.2 添括号法则

• 添括号后，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
• 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.6 整式的加减

2.6.1 步骤

• 去括号
• 合并同类项
• 化简求值（如有要求）

三、一元一次方程

3.1 从算式到方程

3.1.1 方程的定义

• 含有未知数的等式叫做方程。

3.1.2 一元一次方程的定义

• 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
• 标准形式：ax + b = 0 (a≠0)

3.1.3 方程的解

• 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

3.2.1 等式的性质

• 性质1：等式两边加（或减）同一个数或同一个式子，结果仍相等。
• 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.2.2 合并同类项解方程

• 先合并同类项，再将系数化为1。

3.2.3 移项解方程

• 将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
• 移项的依据是等式的性质1。

3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母

3.3.1 去括号解方程

• 依据去括号法则。
• 注意括号前是“-”号时，去掉括号要改变符号。

3.3.2 去分母解方程

• 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数。
• 注意：
  • 不要漏乘没有分母的项。
  • 分子是多项式时，要把分子看作一个整体，添上括号。

3.4 应用一元一次方程——列方程解应用题

3.4.1 列方程的步骤

• 审题，弄清题意。
• 设未知数（通常设所求的量为未知数）。
• 找出相等关系。
• 列出方程。
• 解方程。
• 检验，写出答案。

3.4.2 常见应用题类型

• 行程问题：路程 = 速度 × 时间
• 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
• 销售问题：利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润/成本 × 100%
• 储蓄问题：利息 = 本金 × 利率 × 时间
• 数字问题：个位、十位、百位等表示方法
• 分配问题：总量与各部分的关系

总之，七年级上册数学重点在于对基础概念的理解和熟练运用，通过思维导图可以帮助理清知识脉络，更好地掌握知识点。

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