《四年级下册思维导图数学》

一、 运算定律

1.1 加法运算定律

1.1.1 加法交换律

• 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
  • 公式： a + b = b + a
  • 应用： 简化计算，如：28 + 17 + 72 = 28 + 72 + 17 = 100 + 17 = 117

1.1.2 加法结合律

• 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
  • 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 应用： 简化计算，如：(88 + 104) + 96 = 88 + (104 + 96) = 88 + 200 = 288

1.2 乘法运算定律

1.2.1 乘法交换律

• 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  • 公式： a × b = b × a
  • 应用： 简化计算，如：25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700

1.2.2 乘法结合律

• 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
  • 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 应用： 简化计算，如：125 × 9 × 8 = 125 × 8 × 9 = 1000 × 9 = 9000

1.2.3 乘法分配律

• 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
  • 公式： (a + b) × c = a × c + b × c 或者 a × (b + c) = a × b + a × c
  • 逆用公式： a × c + b × c = (a + b) × c 或者 a × b + a × c = a × (b + c)
  • 应用： 简化计算，如：(40 + 8) × 25 = 40 × 25 + 8 × 25 = 1000 + 200 = 1200

1.3 减法的性质

1.3.1 一个数连续减去两个数

• 定义： 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。
  • 公式： a - b - c = a - (b + c)
  • 应用： 简化计算，如：235 - 66 - 34 = 235 - (66 + 34) = 235 - 100 = 135

1.4 除法的性质

1.4.1 一个数连续除以两个数

• 定义： 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
  • 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
  • 应用： 简化计算，如：420 ÷ 7 ÷ 6 = 420 ÷ (7 × 6) = 420 ÷ 42 = 10

二、 小数的意义和性质

2.1 小数的意义

2.1.1 小数的产生

• 定义： 在测量和计算时，常常不能得到整数的结果，这时常用小数来表示。
  • 本质： 分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。

2.1.2 小数的计数单位

• 定义： 十分之一、百分之一、千分之一…… 记作0.1、0.01、0.001……
  • 关系： 相邻两个计数单位之间的进率是10。

2.1.3 小数的组成

• 组成： 整数部分、小数点、小数部分。
  • 读法： 整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序依次读出每一个数字。
  • 写法： 先写整数部分，然后在个位的右下角点上小数点，再依次写出小数部分。

2.2 小数的性质

2.2.1 小数的性质

• 定义： 小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
  • 应用： 化简小数，改写小数。

2.2.2 小数的大小比较

• 方法： 先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就比较小数部分的十分位，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就比较百分位，以此类推。

2.3 小数点移动引起小数大小的变化

2.3.1 小数点向右移动

• 规则： 小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，小数就扩大到原来的1000倍……

2.3.2 小数点向左移动

• 规则： 小数点向左移动一位，小数就缩小到原来的1/10；小数点向左移动两位，小数就缩小到原来的1/100；小数点向左移动三位，小数就缩小到原来的1/1000……

2.4 单位换算

2.4.1 高级单位转化为低级单位

• 方法： 乘以进率。

2.4.2 低级单位转化为高级单位

• 方法： 除以进率。

2.5 近似数

2.5.1 近似数的概念

• 定义： 与准确数很接近的数。

2.5.2 用“四舍五入”法求近似数

• 方法： 看要保留位数的后一位，小于5就舍去，等于或大于5就向前一位进1。

2.5.3 改写成用“亿”或“万”作单位的数

• 方法： 先把数改写成用“亿”或“万”作单位的数，再在后面添上“亿”或“万”字。

三、 三角形

3.1 三角形的特性

3.1.1 定义

• 定义： 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。

3.1.2 特性

• 稳定性： 不易变形。

3.1.3 三角形的高和底

• 定义： 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

3.2 三角形的分类

3.2.1 按角分

• 锐角三角形： 三个角都是锐角。
  • 直角三角形： 有一个角是直角。
  • 钝角三角形： 有一个角是钝角。

3.2.2 按边分

• 等腰三角形： 有两条边相等。
  • 性质： 两个底角相等。
  • 等边三角形： 三条边都相等。
  • 性质： 三个角都是60度。

3.3 三角形的内角和

3.3.1 内角和

• 定理： 三角形的内角和是180度。

3.4 三角形边的关系

3.4.1 边的关系

• 定理： 三角形任意两边之和大于第三边。

四、 图形的运动（二）

4.1 轴对称图形

4.1.1 定义

• 定义： 如果一个图形沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

4.1.2 常见的轴对称图形

• 例子： 长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、圆形、半圆等。

4.2 平移

4.2.1 定义

• 定义： 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

4.2.2 平移的特征

• 特征： 图形平移的方向和距离。

4.3 旋转

4.3.1 定义

• 定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动叫做旋转。

4.3.2 旋转的特征

• 特征： 旋转的中心点、旋转的方向、旋转的角度。

五、 平均数与条形统计图

5.1 平均数

5.1.1 平均数的意义

• 定义： 平均数是一组数据的总和除以这组数据的个数所得到的商。

5.1.2 平均数的计算方法

• 公式： 总数量 ÷ 总份数 = 平均数
  • 应用： 反映一组数据的总体水平。

5.2 复式条形统计图

5.2.1 复式条形统计图的特点

• 特点： 用两种或两种以上的直条表示两组或两组以上的数据。
  • 优点： 便于比较不同组的数据。

5.2.2 制作复式条形统计图的步骤

1. 确定横轴和纵轴表示的意义。
   2. 确定单位长度表示多少。
   3. 根据数据画出直条。
   4. 标上名称和单位。

六、 数学广角-鸡兔同笼

6.1 鸡兔同笼问题

6.1.1 问题特征

• 特征： 已知鸡兔的总只数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

6.1.2 解题方法

6.1.2.1 假设法

• 假设全是鸡： 先假设全是鸡，算出总脚数，再算出比实际少几只脚，每只兔子比鸡多2只脚，用少的脚数除以2，就是兔子的只数，总只数减去兔子的只数就是鸡的只数。
• 假设全是兔： 先假设全是兔，算出总脚数，再算出比实际多几只脚，每只鸡比兔子少2只脚，用多的脚数除以2，就是鸡的只数，总只数减去鸡的只数就是兔子的只数。

6.1.2.2 方程法

• 设未知数： 设鸡或兔的数量为未知数。
• 列方程： 根据总只数和总脚数列出方程。
• 解方程： 解出未知数，求出鸡和兔的数量。

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