《数学必修一思维导图》

一、集合

1.1 集合的概念与表示

• 1.1.1 集合的概念

  • 定义： 具有某种特定性质的对象的总体。
  • 元素： 组成集合的个体。
  • 集合的表示：
    • 列举法：{a, b, c, ...}
    • 描述法：{x | p(x)} (满足条件p(x)的x的集合)
    • Venn图
  • 集合的性质：
    • 确定性：一个对象要么属于，要么不属于。
    • 互异性：集合中的元素必须互不相同。
    • 无序性：集合中元素的顺序不重要。

• 1.1.2 集合间的关系

  • 元素与集合的关系：
    • 属于：∈
    • 不属于：∉
  • 集合与集合的关系：
    • 子集：A⊆B (A中所有元素都在B中)
    • 真子集：A⊂B (A⊆B 且 A≠B)
    • 相等：A=B (A⊆B 且 B⊆A)
    • 空集：∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集，非空集合的真子集)

1.2 集合的基本运算

• 1.2.1 并集

  • 定义： A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
  • 性质：
    • A∪B = B∪A
    • A∪∅ = A
    • A∪A = A
    • A⊆(A∪B), B⊆(A∪B)

• 1.2.2 交集

  • 定义： A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
  • 性质：
    • A∩B = B∩A
    • A∩∅ = ∅
    • A∩A = A
    • (A∩B)⊆A, (A∩B)⊆B

• 1.2.3 补集

  • 定义： 设全集为U，则∁UA = {x | x∈U 且 x∉A}
  • 性质：
    • A∪(∁UA) = U
    • A∩(∁UA) = ∅
    • ∁U(∁UA) = A

二、函数概念与基本初等函数（I）

2.1 函数

• 2.1.1 函数的概念

  • 定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
  • 定义域： 集合A，记作D。
  • 值域： 集合{f(x) | x∈A}，记作f(A)。
  • 函数的三要素： 定义域、值域、对应关系。 (只有定义域与对应关系相同，两个函数才是相同的函数)
  • 函数的表示方法：
    • 解析法
    • 图像法
    • 列表法

• 2.1.2 函数的表示法

  • 见2.1.1

2.2 函数的基本性质

• 2.2.1 函数的单调性

  • 增函数： 对于定义域内任意x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)。
  • 减函数： 对于定义域内任意x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)。
  • 单调区间： 函数在某区间上是增函数或减函数。

• 2.2.2 函数的奇偶性

  • 偶函数： 对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)。图像关于y轴对称。
  • 奇函数： 对于定义域内任意x，都有f(-x)=-f(x)。图像关于原点对称。 (若0在定义域内，则f(0)=0)
  • 判断奇偶性步骤：
    • 判断定义域是否关于原点对称。
    • 判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。

2.3 指数函数

• 2.3.1 指数与指数幂的运算

  • n次方根： 若xn=a，则x为a的n次方根。
  • 根式： √na (n为奇数时，结果与a同号；n为偶数时，结果为正数或0)
  • 分数指数幂： am/n = √nanm (a>0)
  • 有理数指数幂的运算性质：
    • aras = ar+s
    • (ar)s = ars
    • (ab)r = arbr

• 2.3.2 指数函数及其性质

  • 定义： y=ax (a>0且a≠1)
  • 图像： (a>1时单调递增，0<a<1时单调递减)
  • 性质：
    • 定义域：R
    • 值域：(0, +∞)
    • 恒过点(0, 1)
    • a>1时，在R上单调递增； 0<a<1时，在R上单调递减。

2.4 对数函数

• 2.4.1 对数

  • 定义： 若ax=N (a>0且a≠1)，则x=logaN。 a为底数，N为真数。
  • 常用对数： lgN = log10N
  • 自然对数： lnN = logeN
  • 对数的性质：
    • loga1 = 0
    • logaa = 1
    • alogaN = N
  • 对数的运算性质：
    • loga(MN) = logaM + logaN
    • loga(M/N) = logaM - logaN
    • logaMn = nlogaM
  • 换底公式： logab = logcb/logca

• 2.4.2 对数函数及其性质

  • 定义： y=logax (a>0且a≠1)
  • 图像： (a>1时单调递增，0<a<1时单调递减)
  • 性质：
    • 定义域：(0, +∞)
    • 值域：R
    • 恒过点(1, 0)
    • a>1时，在(0, +∞)上单调递增； 0<a<1时，在(0, +∞)上单调递减。

2.5 函数的应用

• 2.5.1 函数与方程

  • 零点： 使f(x)=0的x的值。 (函数的图像与x轴的交点)
  • 零点存在性定理： 若函数f(x)在[a, b]上连续，且f(a)f(b)<0，则在(a, b)内至少存在一个零点。

• 2.5.2 用二分法求方程的近似解

  • 步骤：
    • 确定区间[a, b]，验证f(a)f(b)<0，给定精度ε。
    • 求区间(a, b)的中点c。
    • 计算f(c)。
      • 若f(c)=0，则c就是零点。
      • 若f(a)f(c)<0，则令b=c。
      • 若f(c)f(b)<0，则令a=c。
    • 判断是否达到精度ε，若达到，则c就是近似解；否则重复2-4步。

• 2.5.3 函数模型的应用实例

  • 常见函数模型：
    • 一次函数模型
    • 二次函数模型
    • 指数函数模型
    • 对数函数模型
    • 分段函数模型
  • 建立函数模型解决实际问题。