《数学第一单元思维导图》

一、 数与式

1.1 实数

1.1.1 定义

• 有理数与无理数的统称。

1.1.2 分类

• 按定义分：
  • 有理数：整数和分数。
  • 无理数：无限不循环小数。
• 按正负分：
  • 正实数
  • 0
  • 负实数

1.1.3 有理数

• 整数：
  • 正整数
  • 0
  • 负整数
• 分数：
  • 正分数
  • 负分数

1.1.4 无理数

• 常见的无理数类型：
  • 无限不循环小数，如 π。
  • 开方开不尽的数，如 √2。
  • 特定结构的无限小数，如 0.1010010001... (每两个1之间增加一个0)。

1.1.5 数轴

• 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
• 性质：数轴上的点与实数一一对应。
• 作用：
  • 直观表示实数。
  • 比较实数大小。

1.1.6 相反数

• 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
• 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
• 性质：a的相反数是-a；0的相反数是0；a + (-a) = 0。

1.1.7 绝对值

• 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
• 代数意义：
  • a ≥ 0 时，|a| = a
  • a < 0 时，|a| = -a
• 几何意义：表示数轴上的点到原点的距离。
• 性质：|a| ≥ 0 恒成立；|a| = |-a|；|ab| = |a||b|; |a/b| = |a|/|b| (b≠0)。

1.1.8 倒数

• 定义：乘积为1的两个数互为倒数。
• 性质：a的倒数是1/a (a≠0)；1的倒数是1；-1的倒数是-1；0没有倒数。

1.1.9 实数大小比较

• 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。
• 绝对值法：两个负数，绝对值大的反而小。
• 差值法：a - b > 0，则 a > b；a - b < 0，则 a < b；a - b = 0，则 a = b。

1.1.10 实数的运算

• 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。
• 运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里的。
• 运算律：
  • 加法交换律：a + b = b + a
  • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 乘法交换律：ab = ba
  • 乘法结合律：(ab)c = a(bc)
  • 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac

1.2 代数式

1.2.1 定义

• 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

1.2.2 分类

• 整式：
  • 单项式：由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或字母也是单项式。
  • 多项式：几个单项式的和组成的代数式。
• 分式：
  • 分母中含有字母的代数式。

1.2.3 单项式

• 系数：单项式中的数字因数。
• 次数：单项式中所有字母的指数的和。

1.2.4 多项式

• 项：多项式中的每个单项式。
• 次数：多项式中次数最高的项的次数。
• 常数项：不含字母的项。

1.2.5 同类项

• 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
• 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
• 合并同类项法则：系数相加减，字母与字母的指数不变。

1.2.6 整式的运算

• 加减法：合并同类项。
• 乘法：
  • 单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母的指数相加，不同字母照抄。
  • 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
• 除法：
  • 单项式除以单项式：系数相除，相同字母的指数相减，只在被除式里含有的字母照抄。
  • 多项式除以单项式：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

1.2.7 乘法公式

• 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
• 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²；(a - b)² = a² - 2ab + b²

1.2.8 因式分解

• 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
• 方法：
  • 提取公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)
  • 运用公式法：a² - b² = (a + b)(a - b)；a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²
  • 十字相乘法（较复杂，视情况掌握）

1.2.9 分式

• 定义：形如A/B，其中A、B是整式，且B中含有字母的式子叫做分式。
• 意义：分母不能为零，即B ≠ 0。
• 基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
• 运算：
  • 加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再相加减。
  • 乘法：分式乘以分式，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
  • 除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

二、 幂的运算

2.1 幂的定义

• aⁿ 表示 n 个 a 相乘。其中，a 称为底数，n 称为指数。

2.2 幂的运算性质

• 同底数幂的乘法：aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n 都是正整数)
• 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n 都是正整数)
• 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 是正整数)
• 同底数幂的除法：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m, n 都是正整数，且 m > n)
• 零指数幂：a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• 负整数指数幂：a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0, n 是正整数)

三、 二次根式

3.1 定义

• 形如√a 的式子叫做二次根式，其中 a ≥ 0。

3.2 性质

• (√a)² = a (a ≥ 0)
• √(a²) = |a| = a (a ≥ 0) ; √(a²) = |a| = -a (a < 0)

3.3 运算

• 乘法：√a · √b = √(ab) (a ≥ 0, b ≥ 0)
• 除法：√a / √b = √(a/b) (a ≥ 0, b > 0)
• 加减法：先将二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。
• 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。

四、 科学计数法

4.1 定义

• 将一个数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。

4.2 确定n的值

• 当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，其值等于原数整数部分的位数减1。
• 当原数的绝对值小于1时，n为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的那个零）。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 八下数学思维导图