七下数学第一章思维导图
《七下数学第一章思维导图》
一、整章概述
- 主题: 有理数
- 核心概念: 正数与负数，数轴，绝对值，有理数的运算
- 重要思想: 分类讨论思想，数形结合思想
- 学习方法: 概念理解，运算熟练，应用灵活
- 目标: 掌握有理数的概念和运算，培养数学思维能力
二、正数与负数
2.1 正数的定义
- 定义：大于0的数
- 表示：在正数前面添上“+”号（通常省略不写）
- 应用：表示具有相反意义的量中，规定为正的一方。
2.2 负数的定义
- 定义：小于0的数
- 表示：在数的前面添上“－”号
- 应用：表示具有相反意义的量中，规定为负的一方。
2.3 0的特殊性
- 0既不是正数，也不是负数
- 0是正数和负数的分界点
- 应用：表示基准，分界，没有
2.4 具有相反意义的量
- 定义：表示意义相反的量，如上升和下降，盈利和亏损等。
- 表示方法：规定其中一种意义的量为正，则另一种意义的量为负。
- 注意：同一对具有相反意义的量，正负的规定是相对的。
三、数轴
3.1 数轴的定义
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 三个要素：原点，正方向，单位长度
- 作用：直观地表示数，比较数的大小。
3.2 数轴的画法
- 步骤：
- 画一条直线
- 在直线上选取一点作为原点（通常选取中间位置）
- 确定正方向（通常取水平向右为正方向，用箭头表示）
- 选取适当的长度作为单位长度，在直线上等距地表示出数。
3.3 数轴上的点与数的对应关系
- 数轴上的点表示一个数，这个数称为这个点表示的数。
- 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
- 数轴上的点不都表示有理数（例如π无法精确表示）
3.4 利用数轴比较大小
- 数轴上右边的数总比左边的数大。
- 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
- 绝对值大的负数反而小。
四、绝对值
4.1 绝对值的定义
- 代数定义：
- 正数的绝对值是它本身
- 负数的绝对值是它的相反数
- 0的绝对值是0
- 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
- 公式表达：
|a| = a (a>0)
|a| = 0 (a=0)
|a| = -a (a<0)
4.2 绝对值的性质
- 非负性：|a| ≥ 0 （绝对值最小值为0）
- |a| = |-a|
- |a-b|表示数轴上a，b两点间的距离
4.3 化简绝对值符号
- 根据绝对值内的数的正负性进行判断。
- 注意分类讨论。
五、有理数的运算
5.1 有理数的加法
- 加法法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
- 加法运算律：
- 交换律： a + b = b + a
- 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
5.2 有理数的减法
- 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 表达式： a - b = a + (-b)
5.3 有理数的乘法
- 乘法法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同0相乘，都得0。
- 乘法运算律：
- 交换律： a × b = b × a
- 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
5.4 有理数的除法
- 除法法则：
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
- 表达式： a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
5.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
- 记作： an，读作a的n次方，其中a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂。
- 性质：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
5.6 混合运算
- 运算顺序：
- 先乘方，后乘除，最后加减。
- 同级运算，从左到右依次进行。
- 有括号的，先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
- 运算技巧：
- 灵活运用运算律，简化运算。
- 注意符号，避免出错。
- 先化简，再计算。
六、科学记数法
6.1 定义
- 将一个大于10的数表示成a × 10n的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数。
6.2 确定n的值
七、近似数与有效数字
7.1 近似数的定义
7.2 精确度
7.3 有效数字
- 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字为止，所有的数字都是这个数的有效数字。
- 用科学记数法表示的数，有效数字只取决于a，与10n无关。
