七下数学思维导图

# 《七下数学思维导图》

## 一、有理数

### 1.1 有理数的概念

*   **定义:** 整数和分数统称为有理数。
    *   整数: 正整数、零、负整数。
    *   分数: 正分数、负分数。
*   **分类:**
    *   按定义分类:
        *   有理数
            *   整数
                *   正整数
                *   零
                *   负整数
            *   分数
                *   正分数
                *   负分数
    *   按性质符号分类:
        *   有理数
            *   正有理数
                *   正整数
                *   正分数
            *   零
            *   负有理数
                *   负整数
                *   负分数

### 1.2 数轴

*   **定义:** 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
*   **要素:** 原点、正方向、单位长度。
*   **作用:**
    *   直观表示数：数轴上的点与有理数一一对应。
    *   比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

### 1.3 相反数

*   **定义:** 只有符号不同的两个数互为相反数。
*   **表示:** 数 a 的相反数是 -a。
*   **性质:**
    *   a + (-a) = 0
    *   若 a 和 b 互为相反数，则 a + b = 0

### 1.4 绝对值

*   **定义:** 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
*   **性质:**
    *   |a| ≥ 0 (非负性)
    *   |a| = a (a ≥ 0)
    *   |a| = -a (a < 0)
*   **几何意义:** 表示数轴上的点到原点的距离。

### 1.5 有理数的大小比较

*   **数轴法:** 数轴上右边的数总比左边的数大。
*   **正负性:** 正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数。
*   **两个负数比较大小:** 绝对值大的反而小。

### 1.6 有理数的运算

*   **加法:**
    *   同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
    *   异号相加：绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    *   加法的交换律：a + b = b + a
    *   加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
*   **减法:** 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
*   **乘法:**
    *   同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘都得 0。
    *   乘法的交换律：a × b = b × a
    *   乘法的结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
    *   乘法的分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
*   **除法:** 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。a ÷ b = a × (1/b)  (b ≠ 0)
*   **乘方:** 求 n 个相同因数的积的运算。 aⁿ = a × a × ... × a (n个 a)
*   **混合运算:** 先乘方，再乘除，最后加减。同级运算，从左到右依次进行。有括号，先算括号里的。
*   **科学计数法:** 将一个绝对值大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为正整数。

## 二、整式的加减

### 2.1 整式

*   **单项式:** 由数与字母的积组成的代数式。 单独一个数或一个字母也是单项式。
    *   系数: 单项式中的数字因数。
    *   次数: 单项式中所有字母的指数的和。
*   **多项式:** 几个单项式的和组成的代数式。
    *   项: 多项式中的每个单项式。
    *   常数项: 不含字母的项。
    *   次数: 多项式中次数最高的项的次数。
*   **整式:** 单项式和多项式统称为整式。

### 2.2 同类项

*   **定义:** 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。
*   **合并同类项:** 把多项式中的同类项合并成一项。
    *   法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

### 2.3 去括号与添括号

*   **去括号法则:**
    *   括号前是 "+" 号，把括号和它前面的 "+" 号去掉，括号里各项都不变符号。
    *   括号前是 "-" 号，把括号和它前面的 "-" 号去掉，括号里各项都改变符号。
*   **添括号法则:**
    *   添括号后，括号前是 "+" 号，括到括号里的各项都不变符号。
    *   添括号后，括号前是 "-" 号，括到括号里的各项都改变符号。

### 2.4 整式的加减

*   **步骤:**
    1.  去括号
    2.  合并同类项

## 三、一元一次方程

### 3.1 方程的概念

*   **方程:** 含有未知数的等式叫做方程。
*   **方程的解:** 使方程左右两边相等的未知数的值。
*   **一元一次方程:** 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的方程。
*   **等式的性质:**
    *   等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
    *   等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。

### 3.2 解一元一次方程

*   **一般步骤:**
    1.  去分母 (方程两边同乘以各分母的最小公倍数)
    2.  去括号
    3.  移项 (把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边)
    4.  合并同类项
    5.  系数化为 1
*   **检验方程的解:** 把求得的未知数的值分别代入方程的左边和右边，看它们的值是否相等。

### 3.3 一元一次方程的应用

*   **列方程解应用题的步骤:**
    1.  审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量。
    2.  设未知数：一般直接设所求的未知数为 x。
    3.  列方程：根据题中的相等关系列出方程。
    4.  解方程：求出未知数的值。
    5.  检验：检验所求得的解是否符合题意。
    6.  答：写出答案，注意带单位。
*   **常见题型:** 行程问题，工程问题，利润问题，数字问题，分配问题等。

## 四、图形认识初步

### 4.1 立体图形与平面图形

*   **立体图形:** 有多个面，占据空间的一部分。例如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
*   **平面图形:** 各部分都在同一个平面内的图形。例如：三角形、正方形、圆等。

### 4.2 直线、射线、线段

*   **直线:** 可以向两端无限延伸，没有端点。
*   **射线:** 只有一个端点，可以向一端无限延伸。
*   **线段:** 有两个端点，不能延伸。
*   **两点确定一条直线**
*   **两点之间，线段最短**
*   **线段的中点:** 将线段分成相等两部分的点。

### 4.3 角

*   **角的定义:** 由两条具有公共端点的射线组成的图形。
*   **角的度量:** 度、分、秒，1° = 60'，1' = 60"。
*   **角的分类:**
    *   锐角: 小于 90° 的角。
    *   直角: 等于 90° 的角。
    *   钝角: 大于 90° 且小于 180° 的角。
    *   平角: 等于 180° 的角。
    *   周角: 等于 360° 的角。
*   **角的平分线:** 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
*   **余角和补角:**
    *   互余：如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角，简称互余。
    *   互补：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角，简称互补。
*   **对顶角:** 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。

《七下数学思维导图》

一、有理数

1.1 有理数的概念

定义: 整数和分数统称为有理数。
- 整数: 正整数、零、负整数。
- 分数: 正分数、负分数。
分类:
- 按定义分类:
  - 有理数
    - 整数
      - 正整数
      - 零
      - 负整数
    - 分数
      - 正分数
      - 负分数
- 按性质符号分类:
  - 有理数
    - 正有理数
      - 正整数
      - 正分数
    - 零
    - 负有理数
      - 负整数
      - 负分数

1.2 数轴

定义: 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
要素: 原点、正方向、单位长度。
作用:
- 直观表示数：数轴上的点与有理数一一对应。
- 比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

1.3 相反数

定义: 只有符号不同的两个数互为相反数。
表示: 数 a 的相反数是 -a。
性质:
- a + (-a) = 0
- 若 a 和 b 互为相反数，则 a + b = 0

1.4 绝对值

定义: 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
性质:
- |a| ≥ 0 (非负性)
- |a| = a (a ≥ 0)
- |a| = -a (a < 0)
几何意义: 表示数轴上的点到原点的距离。

1.5 有理数的大小比较

数轴法: 数轴上右边的数总比左边的数大。
正负性: 正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数。
两个负数比较大小: 绝对值大的反而小。

1.6 有理数的运算

加法:
- 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号相加：绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 加法的交换律：a + b = b + a
- 加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
减法: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
乘法:
- 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘都得 0。
- 乘法的交换律：a × b = b × a
- 乘法的结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法的分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
除法: 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
乘方: 求 n 个相同因数的积的运算。 aⁿ = a × a × ... × a (n个 a)
混合运算: 先乘方，再乘除，最后加减。同级运算，从左到右依次进行。有括号，先算括号里的。
科学计数法: 将一个绝对值大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为正整数。

二、整式的加减

2.1 整式

单项式: 由数与字母的积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数: 单项式中的数字因数。
- 次数: 单项式中所有字母的指数的和。
多项式: 几个单项式的和组成的代数式。
- 项: 多项式中的每个单项式。
- 常数项: 不含字母的项。
- 次数: 多项式中次数最高的项的次数。
整式: 单项式和多项式统称为整式。

2.2 同类项

定义: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。
合并同类项: 把多项式中的同类项合并成一项。
- 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.3 去括号与添括号

去括号法则:
- 括号前是 "+" 号，把括号和它前面的 "+" 号去掉，括号里各项都不变符号。
- 括号前是 "-" 号，把括号和它前面的 "-" 号去掉，括号里各项都改变符号。
添括号法则:
- 添括号后，括号前是 "+" 号，括到括号里的各项都不变符号。
- 添括号后，括号前是 "-" 号，括到括号里的各项都改变符号。

2.4 整式的加减

步骤:
1. 去括号
2. 合并同类项

三、一元一次方程

3.1 方程的概念

方程: 含有未知数的等式叫做方程。
方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
一元一次方程: 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的方程。
等式的性质:
- 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。

3.2 解一元一次方程

一般步骤:
1. 去分母 (方程两边同乘以各分母的最小公倍数)
2. 去括号
3. 移项 (把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边)
4. 合并同类项
5. 系数化为 1
检验方程的解: 把求得的未知数的值分别代入方程的左边和右边，看它们的值是否相等。

3.3 一元一次方程的应用

列方程解应用题的步骤:
1. 审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量。
2. 设未知数：一般直接设所求的未知数为 x。
3. 列方程：根据题中的相等关系列出方程。
4. 解方程：求出未知数的值。
5. 检验：检验所求得的解是否符合题意。
6. 答：写出答案，注意带单位。
常见题型: 行程问题，工程问题，利润问题，数字问题，分配问题等。

四、图形认识初步

4.1 立体图形与平面图形

立体图形: 有多个面，占据空间的一部分。例如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
平面图形: 各部分都在同一个平面内的图形。例如：三角形、正方形、圆等。

4.2 直线、射线、线段

直线: 可以向两端无限延伸，没有端点。
射线: 只有一个端点，可以向一端无限延伸。
线段: 有两个端点，不能延伸。
两点确定一条直线
两点之间，线段最短
线段的中点: 将线段分成相等两部分的点。

4.3 角

角的定义: 由两条具有公共端点的射线组成的图形。
角的度量: 度、分、秒，1° = 60'，1' = 60"。
角的分类:
- 锐角: 小于 90° 的角。
- 直角: 等于 90° 的角。
- 钝角: 大于 90° 且小于 180° 的角。
- 平角: 等于 180° 的角。
- 周角: 等于 360° 的角。
角的平分线: 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
余角和补角:
- 互余：如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角，简称互余。
- 互补：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角，简称互补。
对顶角: 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角相等。

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