《四年级下册思维导图》

一、 运算定律与简便计算

1.1 加法运算定律

1.1.1 加法交换律

• 概念：两个加数交换位置，和不变。
• 公式：a + b = b + a
• 应用：
  • 快速计算：凑整法，便于口算。
  • 验算加法：交换加数位置，结果相同则正确。

1.1.2 加法结合律

• 概念：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 公式：(a + b) + c = a + (b + c)
• 应用：
  • 凑整：将能凑成整十、整百、整千的数先结合。
  • 简化计算：将计算过程中的重复部分合并。

1.2 乘法运算定律

1.2.1 乘法交换律

• 概念：两个因数交换位置，积不变。
• 公式：a × b = b × a
• 应用：
  • 调整计算顺序：将容易计算的因数放在前面。
  • 简化计算：例如，25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37

1.2.2 乘法结合律

• 概念：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
• 应用：
  • 凑整：将能凑成整十、整百、整千的数先结合。
  • 简化计算：例如，8 × 125 × 17 = 8 × 125 × 17

1.2.3 乘法分配律

• 概念：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
• 公式：(a + b) × c = a × c + b × c
• 变形公式：a × c + b × c = (a + b) × c
• 应用：
  • 展开括号：将复杂计算分解为简单计算。
  • 提取公因数：简化计算，减少计算量。
  • 逆用分配律：将多个相同因数的乘积合并。

1.3 简便计算综合运用

• 识别特征：观察算式中的数字特征，判断适用哪种运算定律。
• 灵活运用：将多种运算定律结合起来使用。
• 注意：
  • 运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号内。
  • 符号：注意符号的变换，特别是减法和除法。

二、 小数的意义和性质

2.1 小数的意义

2.1.1 小数的产生

• 由于测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，所以产生了小数。

2.1.2 小数的计数单位

• 十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……
• 每相邻两个计数单位之间的进率是10。

2.1.3 小数的组成

• 整数部分、小数点、小数部分。
• 小数的读法和写法。

2.2 小数的性质

2.2.1 小数的性质

• 小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
• 应用：化简小数，改变小数的计数单位。

2.2.2 小数的大小比较

• 先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；
• 如果整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；
• 如果十分位也相同，就比较百分位，以此类推。

2.3 小数点移动引起小数大小的变化

2.3.1 小数点向右移动

• 小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍。
• 小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍。
• 小数点向右移动三位，小数就扩大到原来的1000倍。
• 以此类推。

2.3.2 小数点向左移动

• 小数点向左移动一位，小数就缩小到原来的1/10。
• 小数点向左移动两位，小数就缩小到原来的1/100。
• 小数点向左移动三位，小数就缩小到原来的1/1000。
• 以此类推。

2.4 小数与单位换算

2.4.1 单位换算方法

• 高级单位转化为低级单位，乘以进率。
• 低级单位转化为高级单位，除以进率。

2.4.2 常见单位换算

• 长度单位：米、分米、厘米、毫米
• 质量单位：千克、克、吨
• 面积单位：平方米、平方分米、平方厘米
• 时间单位：年、月、日、时、分、秒

2.5 近似数

2.5.1 近似数的意义

• 在实际问题中，有时不需要使用精确的数，或者无法得到精确的数，可以用近似数表示。

2.5.2 求近似数的方法

• 四舍五入法：根据要求保留的位数，看下一位数字，小于5舍去，大于等于5向前进1。

2.5.3 改写成用“万”或“亿”作单位的数

• 先将数改写成以“万”或“亿”为单位的数，然后根据需要保留小数位数。

三、 三角形

3.1 三角形的特性

3.1.1 定义

• 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。

3.1.2 特性

• 稳定性：三角形具有稳定性。
• 两边之和大于第三边：三角形任意两边之和大于第三边。

3.2 三角形的分类

3.2.1 按角分

• 锐角三角形：三个角都是锐角。
• 直角三角形：有一个角是直角。
• 钝角三角形：有一个角是钝角。

3.2.2 按边分

• 等腰三角形：有两条边相等。
  • 等边三角形：三条边都相等，也称为正三角形，是特殊的等腰三角形。
• 不等边三角形：三条边都不相等。

3.3 三角形的内角和

3.3.1 内角和

• 三角形的内角和是180度。

3.3.2 应用

• 已知三角形中两个角的度数，可以求出第三个角的度数。
• 判断一个三角形是什么类型的三角形。

3.4 图形的拼组

3.4.1 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

3.4.2 两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形。

四、 位置与方向

4.1 确定位置

4.1.1 用数对表示位置

• 数对的表示方法：(列, 行)
• 根据数对确定物体的位置。

4.1.2 方向的描述

• 东、南、西、北
• 东北、东南、西北、西南
• 角度的描述：例如，北偏东30度。

4.2 绘制简单的路线图

• 确定起点和终点。
• 确定方向和距离。
• 按照比例尺绘制路线图。

五、 统计

5.1 平均数

5.1.1 平均数的意义

• 平均数是一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
• 平均数能够反映一组数据的总体水平。

5.1.2 平均数的计算方法

• 平均数 = 总数量 ÷ 总份数

5.1.3 应用

• 解决平均分的问题。
• 比较两组数据的总体水平。

5.2 复式条形统计图

5.2.1 认识复式条形统计图

• 能够同时表示两组或多组数据。
• 具有图例，说明不同颜色或不同条形代表的意义。

5.2.2 分析复式条形统计图

• 比较两组数据的差异。
• 预测未来的发展趋势。

六、 数学广角 - 鸡兔同笼

6.1 鸡兔同笼问题

6.1.1 问题的特点

• 已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

6.1.2 解题方法

• 假设法：
  • 假设全是鸡，算出总脚数，然后与实际总脚数比较，算出兔的只数，再算出鸡的只数。
  • 假设全是兔，算出总脚数，然后与实际总脚数比较，算出鸡的只数，再算出兔的只数。
• 列表法：
  • 将可能的鸡和兔的只数列举出来，直到找到符合条件的答案。

6.1.3 灵活运用

• 将鸡兔同笼问题转化为其他数学问题。
• 注意题目的变形和扩展。

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