五年级下册思维导图
一、 数与代数
1. 因数与倍数
1.1 因数
- 定义: 如果a×b=c (a、b、c都是不为0的整数)，那么a和b就是c的因数。
- 特点: 因数是成对出现的；一个数的因数个数是有限的；最小的因数是1，最大的因数是它本身。
- 求法:
- 列乘法算式： 1 × ？ = 这个数； 2 × ？ = 这个数；...
- 列除法算式： 这个数 ÷ ？ = 整数
- 注意: 0不是任何数的因数。
1.2 倍数
- 定义: 如果a×b=c (a、b、c都是不为0的整数)，那么c就是a和b的倍数。
- 特点: 一个数的倍数的个数是无限的；最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
- 求法: 依次乘以 1、2、3...
1.3 2、5、3的倍数特征
- 2的倍数: 个位上是0、2、4、6、8的数。 (偶数)
- 5的倍数: 个位上是0或5的数。
- 3的倍数: 各个数位上的数字之和是3的倍数。
- 同时是2和5的倍数: 个位上是0的数。
- 既是2的倍数又是3的倍数: 各个数位上的数字之和是3的倍数，且个位是0、2、4、6、8。
- 既是3的倍数又是5的倍数: 各个数位上的数字之和是3的倍数，且个位是0或5。
1.4 质数与合数
- 质数: 只有1和它本身两个因数的数。（也叫素数）
- 合数: 除了1和它本身以外还有其他因数的数。
- 1既不是质数也不是合数。
- 最小的质数是2，最小的合数是4。
- 100以内的质数: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
1.5 分解质因数
- 定义: 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
- 方法: 短除法。
1.6 最大公因数与最小公倍数
- 公因数: 几个数公有的因数。
- 最大公因数: 几个数公有的因数中最大的一个。
- 公倍数: 几个数公有的倍数。
- 最小公倍数: 几个数公有的倍数中最小的一个。
- 求法:
- 列举法: 适用于较小数字。
- 短除法:
- 求最大公因数：除到互质为止，所有除数的乘积是最大公因数。
- 求最小公倍数：除到互质为止，所有除数和商的乘积是最小公倍数。
- 特殊情况:
- 如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
- 如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。
1.7 互质数
- 定义: 公因数只有1的两个数叫做互质数。
- 判断方法:
- 两个数都是质数，且不相同。
- 1和任何自然数都是互质数。
- 相邻的两个自然数是互质数。
- 两个数都是合数，且公因数只有1。
2. 分数
2.1 分数的意义
- 定义: 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 分数单位: 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
- 分数线: 表示除法
- 分母: 表示把单位“1”平均分成多少份
- 分子: 表示取了其中的多少份
2.2 真分数与假分数
- 真分数: 分子小于分母的分数，真分数小于1。
- 假分数: 分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。
- 带分数: 由整数和真分数合成的数。
- 假分数化成带分数: 用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。
- 带分数化成假分数: 用整数部分乘分母再加上分子作分子，分母不变。
2.3 分数的性质
- 基本性质: 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
- 应用: 化简分数、通分。
2.4 约分与通分
- 约分: 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数。
- 最简分数: 分子和分母互质的分数。
- 通分: 把几个分母不同的分数化成与它们分别相等，并且分母相同的分数。
- 公分母: 通分时，相同的分母叫做公分母。通常取原来几个分母的最小公倍数作公分母。
2.5 分数的大小比较
- 同分母分数: 分子大的分数大。
- 同分子分数: 分母小的分数大。
- 异分母分数: 先通分，化成同分母分数，再比较大小。
2.6 分数与小数的互化
- 小数化成分数: 看是几位小数，就在1后面写几个0做分母，原来的小数去掉小数点作分子；能约分的要约分。
- 分数化成小数: 用分子除以分母；除不尽的按要求保留几位小数。
2.7 分数的加法和减法
- 同分母分数加减法: 分母不变，分子相加减。结果能约分的要约分。
- 异分母分数加减法: 先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。结果能约分的要约分。
- 带分数加减法: 整数部分和分数部分分别相加减，再进行合并。
3. 方程的意义
- 定义: 含有未知数的等式叫做方程。
- 等式性质：
- 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
- 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
- 解方程： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
- 列方程解决问题：
- 找准等量关系。
- 设未知数为x。
- 根据等量关系列方程。
- 解方程。
- 检验并写答。
二、 空间与图形
1. 图形的运动（三）
- 旋转: 物体绕着一个点或者一个轴运动的现象。
- 旋转三要素: 旋转中心、旋转方向、旋转角度。
- 顺时针旋转: 按照钟表指针运行的方向旋转。
- 逆时针旋转: 按照与钟表指针运行相反的方向旋转。
2. 长方体和正方体
2.1 长方体的特征
- 面: 6个面，一般都是长方形（也有可能有两个相对的面是正方形）。相对的面完全相同。
- 棱: 12条棱，相对的棱长度相等。
- 顶点: 8个顶点。
- 特殊长方体: 正方体 (所有面都是正方形)
2.2 正方体的特征
- 面: 6个面，都是完全相同的正方形。
- 棱: 12条棱，长度都相等。
- 顶点: 8个顶点。
2.3 长方体和正方体的关系
- 正方体是特殊的长方体。
2.4 表面积
- 定义: 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
- 长方体表面积公式: S = 2(ab + ah + bh)
- 正方体表面积公式: S = 6a²
2.5 体积
- 定义: 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
- 常用体积单位: 立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）
- 体积单位的进率: 1 m³ = 1000 dm³； 1 dm³ = 1000 cm³
- 容积单位: 升（L）、毫升（mL）
- 容积单位的进率: 1 L = 1000 mL； 1 L = 1 dm³； 1 mL = 1 cm³
- 长方体体积公式: V = abh
- 正方体体积公式: V = a³
2.6 体积与容积
- 容积是指容器所能容纳物体的体积。
三、 统计
1. 复式折线统计图
- 定义: 用两条或两条以上的折线表示两组或两组以上的数据的统计图。
- 特点: 能清楚地反映数据的增减变化情况，同时便于比较两组或两组以上数据的变化趋势。
- 制作方法:
- 确定横轴和纵轴，标出刻度。
- 根据数据描点。
- 用直线依次连接各点。
- 标注图例。
四、 数学广角——找次品
- 基本思想： 使用二分法或三分法，逐步缩小范围，最终找出次品。
- 策略： 尽量平均分，保证每次称重都包含尽量多的信息。
- 优化策略： 如果有3的倍数个物品，尽量平均分成3份；如果不是3的倍数个物品，尽量使得每份数量接近。