四年级数学第三单元思维导图
核心概念：乘法 (Multiplication)
乘法的意义 (Meaning of Multiplication)
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求几个相同加数的和的简便运算
- `- 例子：求 5 个 12 相加的和是多少？` - `- 加法算式：12 + 12 + 12 + 12 + 12` - `- 乘法算式：12 × 5 或 5 × 12`-
求一个数的几倍是多少
- 例子：求 15 的 4 倍是多少？- 算式：15 × 4
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乘法各部分的名称 (Names of Parts in Multiplication)
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乘数 × 乘数 = 积
- `- Factor × Factor = Product`-
例子：在 8 × 7 = 56 中
- 8 和 7 都称为 “乘数” (Factor)- 56 称为 “积” (Product)
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运算定律 (Properties of Operations)
乘法交换律 (Commutative Property of Multiplication)
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定义：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。
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字母表示：a × b = b × a
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举例：
- 25 × 4 = 100- 4 × 25 = 100- 所以：25 × 4 = 4 × 25
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应用：
- 验算乘法计算结果- 使计算更简便 (与其他定律结合使用)
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乘法结合律 (Associative Property of Multiplication)
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定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
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字母表示：(a × b) × c = a × (b × c)
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举例：
- (15 × 4) × 5 = 60 × 5 = 300- 15 × (4 × 5) = 15 × 20 = 300- 所以：(15 × 4) × 5 = 15 × (4 × 5)
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应用：
- 使连乘计算更简便，特别是当其中两个数相乘能得到整十、整百...的数时。- 例如：125 × 7 × 8 = 125 × (7 × 8) 或 (125 × 8) × 7
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乘法分配律 (Distributive Property of Multiplication over Addition)
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定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把积相加。
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字母表示：
- (a + b) × c = a × c + b × c- a × (b + c) = a × b + a × c
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举例：
- (20 + 4) × 5 = 24 × 5 = 120- 20 × 5 + 4 × 5 = 100 + 20 = 120- 所以：(20 + 4) × 5 = 20 × 5 + 4 × 5
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应用 (非常广泛)：
- **简便计算** (正向应用):- 形如 (100 + 2) × 35 = 100 × 35 + 2 × 35- 形如 (80 - 8) × 125 （减法同样适用 a × (b - c) = a × b - a × c）
- **简便计算** (逆向应用，提取公因数):- 形如 38 × 65 + 38 × 35 = 38 × (65 + 35)- 形如 102 × 45 = (100 + 2) × 45- 形如 99 × 78 = (100 - 1) × 78
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注意：区分乘法结合律与乘法分配律
- 结合律：只有乘法运算- 分配律：涉及乘法和加法（或减法）两种运算
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笔算乘法 (Written Multiplication)
三位数乘两位数 (Multiplying a 3-Digit Number by a 2-Digit Number)
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计算法则/步骤：
- `- 1. **对位**：相同数位对齐，通常将位数多的数写在上面。` - `- 2. **分步乘**：先用两位数个位上的数去乘三位数，得到积（第一部分积）。` - `- 3. **分步乘**：再用两位数十位上的数去乘三位数，得到积（第二部分积）。注意：乘得的积的末位要与十位对齐。` - `- 4. **相加**：把两次乘得的积加起来。` - `- 5. **进位**：哪一位上乘得的积满几十，就要向前一位进几。`-
竖式结构示例 (概念)：
A B C (三位数)× D E (两位数)
X X X (A B C × E 的积)Y Y Y (A B C × D 的积，末位与 D 对齐)
Z Z Z Z (最终积)
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易错点：
- 数位没有对齐，特别是第二部分积的位置。- 忘记加进位数。- 计算错误。- 乘数中间有 0 时，忘记乘或者处理错误。
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乘数中间或末尾有 0 的乘法 (Multiplication with Zeros in Factors)
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乘数末尾有 0：
- `- 方法：先把 0 前面的数相乘，再看两个乘数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添写几个 0。` - `- 例子：180 × 30` - `- 先算 18 × 3 = 54` - `- 两个乘数末尾共有 2 个 0` - `- 结果：5400` - `- 竖式简便写法：可以将 0 放在后面，先计算非零部分。`-
乘数中间有 0：
- 方法：与普通乘法一样，按位计算。用第二个乘数的每一位去乘第一个乘数的每一位，即使遇到 0 也要乘。- 注意：当 0 乘任何数都得 0，但如果需要加上进位数，则需要加上。- 例子：305 × 4- 4 × 5 = 20 (写 0，进 2)- 4 × 0 = 0，加上进位 2，得 2 (写 2)- 4 × 3 = 12 (写 12)- 结果：1220
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积的变化规律 (仅乘法) (Pattern of Change in Product)
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一个乘数不变，另一个乘数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
- `- 例子：20 × 4 = 80` - `- 20 × (4 × 2) = 20 × 8 = 160 (积扩大 2 倍)` - `- (20 ÷ 2) × 4 = 10 × 4 = 40 (积缩小 2 倍)`-
应用：可以用来进行一些简便计算或推理。
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估算 (Estimation)
估算的意义与作用 (Meaning and Use of Estimation)
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在不需要精确结果或无法精确计算时，对结果进行大致推算。
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帮助判断计算结果的合理性。
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快速预估数量范围。
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估算方法 (Methods of Estimation)
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取近似数法 (常用四舍五入法)：
- `- 将一个或两个乘数看作与它接近的整十、整百、整千...的数。` - `- 例子：估算 387 × 52 ≈ ?` - `- 可以看作 400 × 50 = 20000` - `- 也可以看作 390 × 50 = 19500` - `- 也可以看作 400 × 52 ≈ 400 × 50 = 20000`-
根据实际情况选择：有时需要估大（如准备材料），有时需要估小。
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估算的书写格式 (Format)
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使用约等号 "≈"。
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写明估算过程（将哪个数看作了多少）。
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例如：387 × 52 ≈ 400 × 50 = 20000
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解决问题 (Problem Solving)
理解题意与分析数量关系 (Understanding the Problem and Analyzing Relationships)
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找出已知信息和所求问题。
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明确题目中涉及的数量关系，判断需要用什么运算。
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乘法通常用于解决：
- 求几个相同数量的总和是多少？- 求一个数的几倍是多少？
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常见的数量关系式 (Common Quantitative Relationships)
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总价 = 单价 × 数量
- `- 例：苹果每千克 5 元，买 4 千克需要多少钱？ (5 × 4 = 20 元)`-
路程 = 速度 × 时间
- 例：汽车每小时行 80 千米，行驶 3 小时行了多少千米？ (80 × 3 = 240 千米)
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工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 例：打字员每分钟打 120 个字，15 分钟能打多少个字？ (120 × 15 = 1800 个字)
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解题步骤 (Steps for Problem Solving)
- 1. **阅读与理解**：仔细读题，弄清题意。- 2. **分析与计划**：找出数量关系，确定解题方法（列式）。- 3. **计算与执行**：准确计算结果（可运用简便方法）。- 4. **检查与验证**：用估算或其他方法检验结果的合理性。- 5. **作答**：写清楚答案，带上单位名称。
多步计算问题 (Multi-step Problems)
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需要通过两步或两步以上的计算才能解决的问题。
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通常涉及乘法与其他运算（加法、减法）的结合。
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解题关键：理清每一步计算的意义，明确先算什么，后算什么。
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例：学校买了 5 箱羽毛球，每箱有 12 筒，每筒有 6 个。一共买了多少个羽毛球？
- 方法一：先算一箱有多少个 (12 × 6)，再算 5 箱有多少个 ((12 × 6) × 5)。- 方法二：先算 5 箱有多少筒 (5 × 12)，再算这些筒共有多少个 ((5 × 12) × 6)。
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（思维导图结束）