《数学思维导图五年级上册》

一、小数乘法

1.1 小数乘整数

1.1.1 意义

• 与整数乘法的意义相同：求几个相同加数的和的简便运算。

1.1.2 计算方法

• 转化成整数乘法计算
  • 先按整数乘法算出积
  • 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

1.1.3 注意事项

• 积的小数位数不够时，用0补足。
• 积的末尾有0时，要把0去掉。

1.2 小数乘小数

1.2.1 意义

• 求一个数的几分之几是多少。例如：1.5 × 0.8 表示 1.5 的十分之八是多少。

1.2.2 计算方法

• 转化成整数乘法计算
  • 先按整数乘法算出积
  • 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

1.2.3 估算

• 把小数看作与它接近的整数进行估算。

1.2.4 规律

• 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
• 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

1.3 积的近似数

1.3.1 方法

• 先算出准确的积，再按要求用“四舍五入”法取近似数。

1.3.2 注意事项

• 保留整数，表示精确到个位。
• 保留一位小数，表示精确到十分位。
• 保留两位小数，表示精确到百分位。

1.4 整数乘法运算定律推广到小数

1.4.1 乘法交换律

• a × b = b × a

1.4.2 乘法结合律

• (a × b) × c = a × (b × c)

1.4.3 乘法分配律

• (a + b) × c = a × c + b × c
• (a - b) × c = a × c - b × c

1.5 解决问题

1.5.1 实际问题

• 根据实际情况灵活运用小数乘法的知识解决问题。

1.5.2 数量关系

• 总价 = 单价 × 数量
• 路程 = 速度 × 时间

二、位置

2.1 用数对确定位置

2.1.1 意义

• 用两个数组成的数对来表示平面上点的位置。

2.1.2 表示方法

• (列, 行)
• 先写列，后写行，中间用逗号隔开，外面用括号括起来。

2.1.3 应用

• 在方格纸上确定物体的位置。
• 根据数对找到物体的位置。

三、小数除法

3.1 除数是整数的小数除法

3.1.1 计算方法

• 按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
• 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 整数部分不够除，商0，点上小数点。

3.2 除数是小数的除法

3.2.1 计算方法

• 先把除数转化成整数，移动除数的小数点，使它变成整数；
• 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；
• 按照除数是整数的除法进行计算。

3.3 商的近似数

3.3.1 方法

• 先算出准确的商，再按要求用“四舍五入”法取近似数。

3.3.2 注意事项

• 根据实际需要保留不同位数的小数。

3.4 循环小数

3.4.1 定义

• 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

3.4.2 循环节

• 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。

3.4.3 简便写法

• 只写一个循环节，然后在循环节的首位和末位各点一个圆点。

3.4.4 有限小数和无限小数

• 小数部分的位数是有限的，叫做有限小数。
• 小数部分的位数是无限的，叫做无限小数。
• 循环小数是无限小数。

3.5 用计算器探索规律

3.5.1 探索方法

• 利用计算器进行计算，观察算式及结果，找出规律。

3.5.2 应用规律

• 根据规律进行推算。

3.6 解决问题

3.6.1 进一法

• 根据实际情况，即使小数部分大于等于0.5，也要向前一位进1。

3.6.2 去尾法

• 根据实际情况，即使小数部分大于等于0.5，也要舍去。

四、简易方程

4.1 用字母表示数

4.1.1 意义

• 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。

4.1.2 简写规则

• 数字和字母相乘，可以省略乘号，数字写在字母前面。
• 1和字母相乘，1可以省略不写。

4.2 方程的意义

4.2.1 定义

• 含有未知数的等式叫做方程。

4.2.2 等式

• 表示相等关系的式子叫做等式。

4.2.3 方程和等式的关系

• 方程一定是等式，但等式不一定是方程。

4.3 等式的性质

4.3.1 性质一

• 等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。

4.3.2 性质二

• 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），结果仍然是等式。

4.4 解方程

4.4.1 定义

• 求方程的解的过程叫做解方程。

4.4.2 解

• 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

4.4.3 解方程的依据

• 等式的性质

4.4.4 注意事项

• 解方程时，要检验。

4.5 解决问题

4.5.1 列方程解决问题

• 找出等量关系。
• 设未知数为x。
• 根据等量关系列方程。
• 解方程。
• 检验并写出答案。

4.5.2 数量关系

• 和倍问题
• 差倍问题
• 行程问题

五、多边形的面积

5.1 平行四边形的面积

5.1.1 公式

• S = ah (底 × 高)

5.1.2 推导过程

• 通过割补法，将平行四边形转化成长方形。

5.2 三角形的面积

5.2.1 公式

• S = ah ÷ 2 (底 × 高 ÷ 2)

5.2.2 推导过程

• 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

5.3 梯形的面积

5.3.1 公式

• S = (a + b)h ÷ 2 (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

5.3.2 推导过程

• 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。

5.4 组合图形的面积

5.4.1 方法

• 分割法：把组合图形分割成几个简单的图形，分别求出它们的面积，再加起来。
• 添补法：把组合图形添补成一个简单的图形，求出整个图形的面积，再减去添补部分的面积。

5.5 估计不规则图形的面积

5.5.1 方法

• 将不规则图形放在方格纸上，数出整格的个数和不满一格的个数，不满一格的按半格计算。

六、统计与可能性

6.1 可能性

6.1.1 可能性大小

• 可能性的大小与事件发生的概率有关。
• 可能性越大，概率越大；可能性越小，概率越小。

6.1.2 公平性

• 判断游戏规则是否公平，要看每种情况出现的可能性是否相等。

6.1.3 设计方案

• 根据要求设计符合条件的方案。

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