《7年级上册数学思维导图》
一、 有理数
1.1 有理数的概念
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1.1.1 正数与负数
- 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数叫做负数。
- 0的意义：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。
- 应用：用正负数表示具有相反意义的量。
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1.1.2 有理数
- 定义：整数和分数统称为有理数。
- 分类：
- 按定义分：
- 整数：正整数、0、负整数
- 分数：正分数、负分数
- 按性质分：
- 正有理数：正整数、正分数
- 0
- 负有理数：负整数、负分数
- 按定义分：
- 数集：注意各种数集的表示，如正数集、整数集、有理数集等。
1.2 数轴
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1.2.1 数轴的定义
- 三要素：原点、正方向、单位长度。
- 重要性：数轴是研究数与形结合的重要工具。
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1.2.2 数轴上的点与有理数的关系
- 一一对应：数轴上的点与有理数一一对应。
- 比较大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
1.3 绝对值
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1.3.1 绝对值的定义
- 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
- 代数意义：
- a>0时，|a|=a
- a=0时，|a|=0
- a<0时，|a|=-a
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1.3.2 绝对值的性质
- 非负性：|a|≥0，即绝对值最小为0。
- |a|=|-a|：互为相反数的两个数的绝对值相等。
- |a|=a，则a≥0；|a|=-a，则a≤0。
1.4 有理数的运算
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1.4.1 有理数的加法
- 加法法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
- 加法运算律：
- 交换律：a+b=b+a
- 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
- 加法法则：
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1.4.2 有理数的减法
- 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
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1.4.3 有理数的乘法
- 乘法法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同0相乘，都得0。
- 乘法运算律：
- 交换律：a×b=b×a
- 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
- 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
- 乘法法则：
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1.4.4 有理数的除法
- 除法法则：
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)，b≠0。
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
- 除法法则：
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1.4.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。an中，a叫做底数，n叫做指数。
- 符号法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
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1.4.6 科学计数法
- 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数。
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1.4.7 近似数和有效数字
- 近似数：与实际数值很接近的数。
- 精确度：近似数与实际数值的接近程度，通常说精确到哪一位。
- 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
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1.4.8 有理数的混合运算
- 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算，从左到右；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、 整式的加减
2.1 代数式
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2.1.1 用字母表示数
- 用字母表示数的意义：简明地表示数量关系、运算律和公式。
- 书写规范：
- 数字与字母相乘，数字写在字母前面，省略乘号。
- 字母与字母相乘，省略乘号。
- 除法运算写成分数形式。
- 带分数写成假分数。
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2.1.2 代数式的定义
- 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。
- 单独一个数或一个字母也是代数式。
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2.1.3 代数式的值
- 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
2.2 整式
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2.2.1 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
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2.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
- 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
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2.2.3 整式
- 单项式和多项式统称为整式。
2.3 同类项
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2.3.1 同类项的定义
- 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
- 常数项也是同类项。
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2.3.2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.4 整式的加减
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2.4.1 去括号法则
- 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变符号。
- 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。
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2.4.2 整式加减的步骤
- 去括号。
- 合并同类项。
三、 一元一次方程
3.1 从算式到方程
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3.1.1 方程的定义
- 含有未知数的等式叫做方程。
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3.1.2 一元一次方程的定义
- 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程。
3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
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3.2.1 等式的性质
- 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
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3.2.2 解方程的步骤
- 合并同类项。
- 移项：把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要改变符号。
- 系数化为1。
3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
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3.3.1 去括号
- 依据去括号法则。
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3.3.2 去分母
- 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数。注意：不要漏乘不含分母的项。
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3.3.3 解方程的步骤
- 去分母。
- 去括号。
- 移项。
- 合并同类项。
- 系数化为1。
3.4 实际问题与一元一次方程
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3.4.1 列方程解应用题的步骤
- 审题：弄清题意，找出已知条件和未知条件。
- 设未知数：用字母表示未知数。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：求出未知数的值。
- 检验：检验所求的解是否符合题意。
- 答：写出答案。
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3.4.2 常见的应用题类型
- 行程问题：路程=速度×时间
- 工程问题：工作量=工作效率×工作时间
- 销售问题：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%
- 储蓄问题：利息=本金×利率×时间
- 数字问题：十位上的数×10+个位上的数=两位数
四、 图形的初步认识
4.1 多姿多彩的图形
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4.1.1 立体图形与平面图形
- 立体图形：占据一定空间，各部分不都在同一平面内的图形。例如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
- 平面图形：各部分都在同一平面内的图形。例如：三角形、四边形、圆等。
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4.1.2 几何体的构成
- 几何体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点。
4.2 线段、射线、直线
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4.2.1 直线
- 定义：直线向两方无限延伸。
- 表示方法：用一个小写字母表示，如直线l；用直线上的两个点表示，如直线AB。
- 性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）。
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4.2.2 射线
- 定义：把直线向一方无限延伸。
- 表示方法：用端点和射线上的另一个点表示，如射线OA。注意：端点必须写在前面。
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4.2.3 线段
- 定义：直线上两点之间的部分叫做线段。
- 表示方法：用两个端点表示，如线段AB。
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4.2.4 两点之间的距离
- 连接两点的线段的长度，叫做两点之间的距离。
- 线段的性质：两点之间，线段最短。
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4.2.5 线段的中点
- 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点。
4.3 角的度量
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4.3.1 角的定义
- 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
- 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
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4.3.2 角的表示方法
- 用三个大写字母表示，顶点字母必须写在中间，如∠AOB。
- 用一个顶点字母表示，如∠O。注意：当顶点处只有一个角时才能用此方法。
- 用一个数字或希腊字母表示，如∠1，∠α。
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4.3.3 角的单位
- 度、分、秒。
- 1°=60′，1′=60″。
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4.3.4 角的分类
- 锐角：小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°且小于180°的角。
- 平角：等于180°的角。
- 周角：等于360°的角。
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4.3.5 角的平分线
- 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
4.4 立体图形的展开
- 4.4.1 几何体的展开图
- 把一个立体图形的表面展开成平面图形，叫做这个立体图形的展开图。
- 常见的立体图形的展开图：正方体、长方体、圆柱、圆锥等。