《九上数学思维导图》

一、一元二次方程

1. 定义

• 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程
• 一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)
  • a：二次项系数
  • b：一次项系数
  • c：常数项

2. 解法

• 直接开平方法
  • 适用于形如 (x+m)² = n (n≥0) 的方程
  • 步骤：
    1. 将方程化为 (x+m)² = n 的形式
    2. 两边直接开平方，得到 x+m = ±√n
    3. 解得 x₁ = -m + √n, x₂ = -m - √n
• 配方法
  • 步骤：
    1. 将二次项系数化为1
    2. 将常数项移到等号右边
    3. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方
    4. 将等号左边配成完全平方形式
    5. 用直接开平方法求解
• 公式法
  • 公式：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
  • 条件：b²-4ac ≥ 0
  • 步骤：
    1. 将方程化为一般形式
    2. 确定 a, b, c 的值
    3. 计算 Δ = b²-4ac
    4. 判断 Δ 的符号：
       • Δ > 0：有两个不相等的实数根
       • Δ = 0：有两个相等的实数根
       • Δ < 0：没有实数根
    5. 代入公式求解
• 因式分解法
  • 适用于方程易于分解因式的情况
  • 步骤：
    1. 将方程化为一般形式，并将等号右边化为0
    2. 将等号左边分解成两个一次因式的积
    3. 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程
    4. 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根

3. 根的判别式

• Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0：有两个不相等的实数根
  • Δ = 0：有两个相等的实数根
  • Δ < 0：没有实数根

4. 根与系数的关系 (韦达定理)

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a
• 应用：
  • 已知两根，求方程
  • 已知一根，求另一根和未知系数
  • 判断根的符号
  • 求含根的代数式的值

5. 应用

• 增长率问题
• 销售利润问题
• 几何图形问题
• 数字问题

二、二次函数

1. 定义

• 一般形式：y = ax² + bx + c (a≠0)
  • a：二次项系数，决定抛物线的开口方向和开口大小
  • b：一次项系数
  • c：常数项，决定抛物线与 y 轴的交点
• 顶点式：y = a(x-h)² + k
  • (h, k) 为顶点坐标
• 交点式：y = a(x-x₁)(x-x₂)
  • x₁，x₂为抛物线与 x 轴的交点横坐标

2. 图象与性质

• 开口方向
  • a > 0：开口向上，有最小值
  • a < 0：开口向下，有最大值
• 对称轴
  • 直线 x = -b/2a
• 顶点坐标
  • (-b/2a, (4ac-b²)/4a) 或 (h, k)
• 与 x 轴的交点
  • Δ > 0：有两个交点
  • Δ = 0：有一个交点 (顶点在 x 轴上)
  • Δ < 0：没有交点
• 增减性
  • a > 0：对称轴左侧递减，右侧递增
  • a < 0：对称轴左侧递增，右侧递减

3. 图像的平移

• 左加右减，上加下减
• y = ax² + bx + c -> y = a(x-h)² + k
  • 顶点 (0, 0) -> (h, k)
  • h > 0，向右平移 h 个单位
  • h < 0，向左平移 |h| 个单位
  • k > 0，向上平移 k 个单位
  • k < 0，向下平移 |k| 个单位

4. 确定二次函数的表达式

• 一般式：已知图像上三个点，代入一般式解三元一次方程组
• 顶点式：已知顶点坐标或对称轴及图像上一点
• 交点式：已知图像与 x 轴的两个交点

5. 应用

• 解决实际问题：
  • 最大利润问题
  • 桥拱问题
  • 喷泉问题
  • 隧道问题

三、旋转

1. 定义

• 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度的变换
• 定点：旋转中心
• 旋转角：旋转的角度
• 旋转的性质：
  • 对应点到旋转中心的距离相等
  • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
  • 旋转前后图形全等

2. 中心对称

• 把一个图形绕着某一点旋转180°后与自身重合，这个图形是中心对称图形。
• 点对称：两个图形中的对应点关于对称中心对称
• 中心对称图形的性质：
  • 中心对称图形的对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分
  • 中心对称图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等

3. 中心对称图形

• 常见的中心对称图形：线段、正方形、矩形、平行四边形、菱形、圆
• 判断：图形绕中心点旋转 180° 后能否与自身重合

4. 坐标与旋转

• 坐标系中点的旋转
  • 绕原点旋转
  • 绕其他点旋转

5. 应用

• 利用旋转解决几何问题
  • 证明线段相等或不等
  • 证明角相等或不等
  • 计算线段长度或角度大小
  • 构造辅助线解决问题

四、概率初步

1. 随机事件与概率

• 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
• 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件
• 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件
• 概率：描述随机事件发生的可能性大小的数值
  • P(必然事件) = 1
  • P(不可能事件) = 0
  • 0 ≤ P(随机事件) ≤ 1

2. 概率的计算

• 等可能事件的概率：P(A) = m/n (m 为事件 A 包含的结果数，n 为总结果数)
• 用频率估计概率：在大量重复试验中，频率趋近于概率
• 列表法和树状图法：适用于两步或多步试验，求概率

3. 应用

• 解决实际问题
  • 游戏公平性判断
  • 事件发生的可能性大小比较
  • 决策问题

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