《数学七下思维导图》
一、 整式的运算
1. 幂的运算
- 同底数幂的乘法： $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- 底数相同，指数相加
- 注意：底数可以是数、字母，也可以是单项式或多项式
- 逆用： $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$
- 幂的乘方： $(a^m)^n = a^{mn}$
- 指数相乘
- 注意：不要与同底数幂的乘法混淆
- 积的乘方： $(ab)^n = a^n b^n$
- 每个因式分别乘方
- 逆用： $a^n b^n = (ab)^n$
- 同底数幂的除法： $a^m \div a^n = a^{m-n} (a \neq 0)$
- 底数相同，指数相减
- 注意：底数不能为0
- 零指数幂： $a^0 = 1 (a \neq 0)$
- 负指数幂： $a^{-p} = \frac{1}{a^p} (a \neq 0)$
2. 整式的乘法
- 单项式乘以单项式：
- 系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同其指数不变，作为积的因式。
- 单项式乘以多项式： $m(a+b+c) = ma + mb + mc$
- 用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 注意：不要漏乘任何一项，结果要化简
- 多项式乘以多项式： $(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn$
- 用一个多项式的每一项分别去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 注意：不要漏乘任何一项，结果要合并同类项，化简
3. 乘法公式
- 平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
- 注意：公式的结构特征
- 公式逆用： $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
- 完全平方公式： $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
- 两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。
- 注意：公式的结构特征
- 公式逆用： $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
4. 整式的除法
- 单项式除以单项式：
- 系数相除，相同字母的幂相除，其余字母连同其指数不变，作为商的因式。
- 多项式除以单项式： $(am+bm+cm) \div m = a + b + c$
- 先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
二、 平行线的性质与判定
1. 平行线的判定
- 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 判定方法：
- 同位角相等，两直线平行。
- 内错角相等，两直线平行。
- 同旁内角互补，两直线平行。
- 平行于同一条直线的两条直线平行。
2. 平行线的性质
- 性质：
- 两直线平行，同位角相等。
- 两直线平行，内错角相等。
- 两直线平行，同旁内角互补。
3. 平移
- 定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
- 平移的特征：
- 平移不改变图形的形状和大小。
- 连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
- 平移作图： 确定平移的方向和距离，找出关键点的对应点，依次连接即可。
三、 因式分解
1. 定义
- 因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 方法
- 提公因式法： $ma+mb+mc = m(a+b+c)$
- 确定公因式：系数的最大公约数、各项都含有的字母的最低次幂
- 把公因式提到括号外面，把多项式分解成两个因式乘积的形式
- 注意：括号内要保证没有公因式可以提取。
- 运用公式法：
- 平方差公式： $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
- 完全平方公式： $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
- 十字相乘法 (选学)：
3. 注意事项
- 因式分解的对象是多项式。
- 因式分解的结果是几个整式的积。
- 要分解到不能再分解为止。
- 先考虑提公因式，再考虑公式法。
四、 三角形
1. 三角形的概念
- 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 元素： 三条边、三个内角、三个顶点。
- 表示方法： $\triangle ABC$
- 分类：
- 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
- 按边分：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形）
2. 三角形的性质
- 三角形三边关系： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
- 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。
- 三角形的外角：
- 定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
- 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
3. 特殊三角形
- 等腰三角形：
- 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
- 性质：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
- 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
- 顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（三线合一）
- 等边三角形：
- 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。
- 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
- 判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4. 重要线段
- 三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
- 三角形的中线： 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
五、 不等式与不等式组
1. 不等式的概念
- 定义： 用不等号连接的，含有未知数的式子，叫做不等式。
- 不等号： >、<、≥、≤、≠
- 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值。
- 不等式的解集： 使不等式成立的未知数的取值范围。
2. 不等式的性质
- 性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
- 性质2： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 性质3： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 一元一次不等式
- 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
- 解法： 类似于解一元一次方程，但要注意不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
4. 不等式组
- 定义： 由几个含有同一个未知数的不等式组成的一组不等式，叫做不等式组。
- 不等式组的解集： 组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分。
- 求解不等式组： 分别求出各个不等式的解集，然后求它们的公共部分。
- 解集表示：
- a < x < b：表示x大于a且小于b
- x > a：表示x大于a
- x < b：表示x小于b
- x ≥ a：表示x大于等于a
- x ≤ b：表示x小于等于b
六、 数据的收集、整理与描述
1. 数据的收集
- 调查方式： 普查、抽样调查
- 抽样调查： 从总体中抽取部分个体进行调查，然后根据这部分个体的调查结果来估计总体的情况。
- 样本： 被抽取的那些个体组成一个样本。
- 样本容量： 样本中个体的数目。
- 选择调查方式： 既要考虑调查的准确性，又要考虑可行性。
2. 数据的整理
- 频数： 每个对象出现的次数。
- 频率： 每个对象出现的次数与总次数的比值。
- 数据分组： 将数据按照一定的规律分成若干组。
3. 数据的描述
- 统计图：
- 条形统计图：能够清楚地表示出每个项目的具体数目。
- 扇形统计图：能够清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
- 折线统计图：能够清楚地表示出数据的变化趋势。
- 数据的集中趋势：
- 平均数： 所有数据的和除以数据的个数。
- 中位数： 将数据按照大小顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）。
- 众数： 在一组数据中，出现次数最多的数据。
This mind map comprehensively covers the key topics in a typical 7th-grade math curriculum. It provides clear definitions, formulas, and methods for each topic, making it a useful tool for studying and review.