《高中数学思维导图》
一、集合与常用逻辑用语
1. 集合
- 1.1 集合的概念
- 1.1.1 集合的定义：具有某种特定性质的对象的总体。
- 1.1.2 集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图。
- 1.1.3 集合的分类：有限集、无限集、空集。
- 1.1.4 元素与集合的关系：属于(∈)、不属于(∉)。
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.2.1 子集：A⊆B
- 1.2.2 真子集：A⊂B
- 1.2.3 集合相等：A=B
- 1.2.4 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
- 1.3 集合的基本运算
- 1.3.1 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
- 1.3.2 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
- 1.3.3 补集：∁UA = {x | x∈U 且 x∉A} （U为全集）
- 1.3.4 集合运算的性质及应用。
2. 常用逻辑用语
- 2.1 命题及其关系
- 2.1.1 命题的定义：可以判断真假的语句。
- 2.1.2 简单命题与复合命题。
- 2.1.3 四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
- 2.1.4 互为逆否命题等价。
- 2.2 必要条件、充分条件与充要条件
- 2.2.1 充分条件：p⇒q
- 2.2.2 必要条件：q⇒p
- 2.2.3 充要条件：p⇔q
- 2.3 全称量词与存在量词
- 2.3.1 全称量词：∀
- 2.3.2 存在量词：∃
- 2.3.3 全称命题的否定。
- 2.3.4 存在性命题的否定。
二、函数
1. 函数的概念与性质
- 1.1 函数的概念
- 1.1.1 函数的定义：定义域、值域、对应关系。
- 1.1.2 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
- 1.1.3 函数的定义域的求法。
- 1.2 函数的性质
- 1.2.1 单调性：增函数、减函数。
- 1.2.2 奇偶性：奇函数、偶函数。
- 1.2.3 周期性：周期函数、最小正周期。
- 1.2.4 对称性：轴对称、中心对称。
- 1.3 二次函数
- 1.3.1 二次函数的图像与性质。
- 1.3.2 二次函数的应用：最值问题。
2. 基本初等函数
- 2.1 指数函数
- 2.1.1 指数函数的定义与图像。
- 2.1.2 指数函数的性质：定义域、值域、单调性、恒过点(0,1)。
- 2.1.3 指数函数的应用：比较大小、解指数方程和不等式。
- 2.2 对数函数
- 2.2.1 对数函数的定义与图像。
- 2.2.2 对数函数的性质：定义域、值域、单调性、恒过点(1,0)。
- 2.2.3 对数函数的应用：比较大小、解对数方程和不等式。
- 2.2.4 对数的运算性质。
- 2.2.5 换底公式。
- 2.3 幂函数
- 2.3.1 幂函数的定义：y = x^α
- 2.3.2 常见幂函数的图像与性质：y=x, y=x^2, y=x^3, y=1/x, y=√x
- 2.3.3 不同α值的幂函数的图像特征及单调性。
3. 函数的应用
- 3.1 函数与方程
- 3.1.1 方程的根与函数的零点。
- 3.1.2 用二分法求方程的近似解。
- 3.2 函数模型及其应用
- 3.2.1 函数模型的建立：增长模型、指数模型、对数模型等。
- 3.2.2 函数模型的应用：解决实际问题。
三、三角函数
1. 三角函数的概念
- 1.1 任意角的概念与弧度制
- 1.1.1 角的概念的推广：正角、负角、零角。
- 1.1.2 弧度制：弧长公式、扇形面积公式。
- 1.2 三角函数的定义
- 1.2.1 正弦、余弦、正切的定义。
- 1.2.2 各象限三角函数的符号。
- 1.2.3 同角三角函数的基本关系。
- 1.3 三角函数的诱导公式
- 1.3.1 诱导公式的推导及应用。
2. 三角函数的图像与性质
- 2.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
- 2.1.1 图像的画法：五点法。
- 2.1.2 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
- 2.1.3 振幅、周期、频率、相位、初相。
- 2.2 正切函数的图像与性质
- 2.2.1 图像的画法。
- 2.2.2 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
3. 三角恒等变换
- 3.1 两角和与差的三角函数公式
- 3.1.1 正弦、余弦、正切公式。
- 3.2 二倍角的三角函数公式
- 3.2.1 正弦、余弦、正切公式。
- 3.3 简单的三角恒等变换
- 3.3.1 辅助角公式：asin(x) + bcos(x) = √(a^2+b^2)sin(x+φ)
- 3.3.2 三角函数式的化简、求值与证明。
4. 解三角形
- 4.1 正弦定理
- 4.1.1 正弦定理的内容及应用。
- 4.2 余弦定理
- 4.2.1 余弦定理的内容及应用。
- 4.3 解三角形的应用
- 4.3.1 实际问题中的角度、距离的计算。
- 4.3.2 测量高度、距离等。
四、数列
1. 数列的概念与简单表示
- 1.1 数列的概念
- 1.1.1 数列的定义。
- 1.1.2 数列的项、通项公式。
- 1.2 数列的表示方法
- 1.2.1 通项公式法。
- 1.2.2 递推公式法。
2. 等差数列
- 2.1 等差数列的定义
- 2.1.1 等差数列的判定：an+1 - an = d (常数)
- 2.2 等差数列的通项公式
- 2.2.1 an = a1 + (n-1)d
- 2.3 等差数列的前n项和公式
- 2.3.1 Sn = n(a1 + an)/2
- 2.3.2 Sn = na1 + n(n-1)d/2
- 2.4 等差数列的性质
- 2.4.1 am + an = ap + aq (m+n = p+q)
3. 等比数列
- 3.1 等比数列的定义
- 3.1.1 等比数列的判定：an+1 / an = q (常数)
- 3.2 等比数列的通项公式
- 3.2.1 an = a1 * q^(n-1)
- 3.3 等比数列的前n项和公式
- 3.3.1 Sn = a1(1-q^n) / (1-q) (q≠1)
- 3.3.2 Sn = na1 (q=1)
- 3.4 等比数列的性质
- 3.4.1 am an = ap aq (m+n = p+q)
五、不等式
1. 不等关系与不等式
- 1.1 不等关系
- 1.1.1 大于、小于、大于等于、小于等于、不等于。
- 1.2 不等式的性质
- 1.2.1 对称性、传递性、加法性质、乘法性质、倒数性质。
2. 基本不等式
- 2.1 基本不等式：√ab ≤ (a+b)/2
- 2.1.1 基本不等式的证明。
- 2.1.2 基本不等式的应用：求最值。
- 2.1.3 “一正二定三相等”原则。
3. 一元二次不等式
- 3.1 一元二次不等式的解法
- 3.1.1 判别式Δ与根的关系。
- 3.1.2 图像法解一元二次不等式。
4. 线性规划
- 4.1 线性规划的概念
- 4.1.1 可行域。
- 4.1.2 目标函数。
- 4.2 线性规划的应用
- 4.2.1 解决实际问题中的线性规划问题。
六、立体几何初步
1. 空间几何体的结构
- 1.1 空间几何体的分类
- 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台。
- 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球。
- 1.2 空间几何体的直观图
- 1.2.1 斜二测画法。
2. 空间几何体的三视图和直观图
- 2.1 三视图
- 2.1.1 正视图、侧视图、俯视图。
- 2.1.2 由三视图还原几何体。
- 2.2 空间几何体的表面积与体积
- 2.2.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积。
- 2.2.2 球的表面积与体积。
3. 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 3.1 直线与平面的位置关系
- 3.1.1 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
- 3.2 平面与平面的位置关系
- 3.2.1 平面与平面相交、平面与平面平行。
- 3.3 空间直线与直线的位置关系
- 3.3.1 相交直线、平行直线、异面直线。
- 3.4 空间直线、平面平行与垂直的判定与性质
- 3.4.1 线面平行、面面平行、线线平行。
- 3.4.2 线面垂直、面面垂直、线线垂直。
七、平面解析几何
1. 直线与方程
- 1.1 直线的倾斜角与斜率
- 1.1.1 倾斜角的定义与范围。
- 1.1.2 斜率的定义及计算公式。
- 1.2 直线的方程
- 1.2.1 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
- 1.3 两条直线的位置关系
- 1.3.1 平行、垂直、重合、相交。
- 1.4 点到直线的距离公式
- 1.4.1 d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)
2. 圆与方程
- 2.1 圆的标准方程与一般方程
- 2.1.1 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
- 2.1.2 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
- 2.2 直线与圆的位置关系
- 2.2.1 相切、相交、相离。
- 2.3 圆与圆的位置关系
- 2.3.1 外离、外切、相交、内切、内含。
3. 圆锥曲线
- 3.1 椭圆
- 3.1.1 椭圆的定义。
- 3.1.2 椭圆的标准方程。
- 3.1.3 椭圆的几何性质：顶点、焦点、长轴、短轴、离心率。
- 3.2 双曲线
- 3.2.1 双曲线的定义。
- 3.2.2 双曲线的标准方程。
- 3.2.3 双曲线的几何性质：顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率、渐近线。
- 3.3 抛物线
- 3.3.1 抛物线的定义。
- 3.3.2 抛物线的标准方程。
- 3.3.3 抛物线的几何性质：顶点、焦点、准线。
- 3.4 直线与圆锥曲线的位置关系
- 3.4.1 联立方程，判别式Δ。
八、概率与统计
1. 随机事件的概率
- 1.1 随机事件及其概率
- 1.1.1 随机事件的定义。
- 1.1.2 概率的定义与性质。
- 1.2 古典概型
- 1.2.1 古典概型的定义与计算公式。
- 1.3 几何概型
- 1.3.1 几何概型的定义与计算公式。
2. 随机变量及其分布
- 2.1 随机变量
- 2.1.1 随机变量的定义。
- 2.1.2 离散型随机变量与连续型随机变量。
- 2.2 离散型随机变量的分布列
- 2.2.1 分布列的定义与性质。
- 2.3 数学期望与方差
- 2.3.1 数学期望的定义与计算公式。
- 2.3.2 方差的定义与计算公式。
3. 统计
- 3.1 抽样方法
- 3.1.1 简单随机抽样。
- 3.1.2 分层抽样。
- 3.1.3 系统抽样。
- 3.2 用样本估计总体
- 3.2.1 样本的平均数、中位数、众数。
- 3.2.2 样本的方差与标准差。
- 3.3 频率分布直方图
- 3.3.1 绘制频率分布直方图。
- 3.3.2 根据频率分布直方图估计总体。
九、导数及其应用
1. 导数的概念
- 1.1 导数的定义
- 1.1.1 导数的几何意义：切线的斜率。
- 1.1.2 导数的物理意义：瞬时速度。
- 1.2 导数的运算
- 1.2.1 常见函数的导数公式。
- 1.2.2 导数的四则运算法则。
2. 导数的应用
- 2.1 导数与函数的单调性
- 2.1.1 利用导数判断函数的单调性。
- 2.2 导数与函数的极值与最值
- 2.2.1 极值的定义与求法。
- 2.2.2 最值的求法。
- 2.3 导数在实际问题中的应用
- 2.3.1 最优化问题。
十、推理与证明（选修）
1. 合情推理与演绎推理
- 1.1 合情推理
- 1.1.1 归纳推理。
- 1.1.2 类比推理。
- 1.2 演绎推理
- 1.2.1 三段论。
2. 直接证明与间接证明
- 2.1 直接证明
- 2.1.1 综合法。
- 2.1.2 分析法。
- 2.2 间接证明
- 2.2.1 反证法。
十一、复数（选修）
1. 复数的概念
- 1.1 复数的定义
- 1.1.1 复数的表示：a + bi (a,b∈R)
- 1.1.2 实部、虚部。
- 1.1.3 纯虚数。
- 1.2 复数的几何意义
- 1.2.1 复平面。
- 1.2.2 复数与点的对应关系。
2. 复数的运算
- 2.1 复数的加法与减法
- 2.1.1 运算规则。
- 2.2 复数的乘法与除法
- 2.2.1 运算规则。
- 2.2.2 共轭复数。