初一数学第二单元思维导图
《初一数学第二单元思维导图》
一、 有理数
1.1 有理数的概念
1.1.1 正数和负数
- 定义：
- 正数：大于0的数
- 负数：小于0的数，在正数前加上“-”号
- 0的特殊性：既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界点。
- 意义：表示具有相反意义的量，例如：
1.1.2 有理数的分类
1.1.3 数轴
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线。
- 三要素：
- 原点：数轴上表示0的点。
- 正方向：通常规定向右为正方向。
- 单位长度：表示1的线段长度。
- 作用：
- 直观地表示数。
- 比较数的大小。
- 理解相反数和绝对值的概念。
1.2 有理数的大小比较
1.2.1 数轴比较法
- 原则：数轴上右边的数总比左边的数大。
- 规则：
- 正数大于0，负数小于0。
- 正数大于一切负数。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
1.2.2 绝对值比较法
- 绝对值：数轴上表示数的点到原点的距离。
- 性质：
- 正数的绝对值是它本身。
- 负数的绝对值是它的相反数。
- 0的绝对值是0。
- 表示：|a|
- 规则：两个负数，绝对值大的反而小。
1.3 相反数
1.3.1 定义
- 只有符号不同的两个数互为相反数。
- 0的相反数是0。
1.3.2 表示
1.3.3 性质
- 互为相反数的两个数之和为0，即a + (-a) = 0。
- 数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
1.4 绝对值
1.4.1 定义
- 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
1.4.2 性质
- |a| ≥ 0，即绝对值是非负数。
- 当 a > 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a < 0 时，|a| = -a。
- |a| = |-a|，互为相反数的两个数的绝对值相等。
1.5 有理数的运算
1.5.1 有理数的加法
- 法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
- 运算律：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
1.5.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。
1.5.3 有理数的乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同0相乘，都得0。
- 运算律：
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
1.5.4 有理数的除法
- 法则：
- 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b)，（b ≠ 0）。
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。
1.5.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方。
- 表示：aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ是幂。
- 性质：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
1.5.6 混合运算
- 顺序：
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 同级运算，从左到右进行。
- 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.6 科学计数法
1.6.1 定义
- 把一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数。
1.6.2 确定n的值
二、 本单元学习重点
- 理解有理数的概念，掌握有理数的分类。
- 熟练运用数轴比较有理数的大小。
- 掌握相反数和绝对值的概念和性质。
- 熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算。
- 掌握科学计数法。
- 灵活运用运算律简化运算。
三、 易错点
- 区分正数和整数，负数和分数。
- 绝对值的概念理解不透彻。
- 有理数运算符号的确定。
- 混合运算顺序掌握不牢固。
- 科学计数法中 n 的确定。
