《高数第一章思维导图》

一、 函数与极限

1.1 函数

1.1.1 函数的概念

• 定义: 两个变量x和y，存在对应关系f，使得每个x都有唯一确定的y与之对应。
• 自变量: x
• 因变量: y
• 定义域: x的取值范围，记为D(f)
• 值域: y的取值范围，记为R(f)
• 函数表达式: y = f(x)

1.1.2 函数的表示方法

• 解析法: 用数学公式表达函数关系。
  • 例如： y = x^2 + 1
• 表格法: 用表格列出对应关系。
  • 适用于离散数据。
• 图像法: 用图形直观展示函数关系。
  • 便于观察函数的性质。

1.1.3 函数的特性

• 有界性:
  • 有上界: 存在M，使得 f(x) <= M 对所有x∈D(f)成立
  • 有下界: 存在m，使得 f(x) >= m 对所有x∈D(f)成立
  • 有界: 既有上界又有下界。
• 单调性:
  • 单调递增: x1 < x2 => f(x1) <= f(x2) (严格递增：f(x1) < f(x2))
  • 单调递减: x1 < x2 => f(x1) >= f(x2) (严格递减：f(x1) > f(x2))
• 奇偶性:
  • 偶函数: f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
  • 奇函数: f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
  • 非奇非偶函数: 不满足奇函数或偶函数的条件。
• 周期性:
  • 存在T，使得 f(x + T) = f(x) 对所有x∈D(f)成立。T为周期。

1.1.4 复合函数与反函数

• 复合函数:
  • y = f(u), u = g(x), 则 y = f(g(x))
  • 注意定义域的限制：g(x)的值域必须包含在f(u)的定义域内。
• 反函数:
  • 由 y = f(x) 反解出 x = φ(y)，则 x = φ(y) 为 y = f(x) 的反函数，记为 y = f^(-1)(x)。
  • 原函数与反函数关于 y = x 对称。
  • 只有严格单调的函数才有反函数。

1.1.5 初等函数

• 基本初等函数:
  • 常数函数: y = c
  • 幂函数: y = x^α (α为实数)
  • 指数函数: y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
  • 对数函数: y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)
  • 三角函数: y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = secx, y = cscx
  • 反三角函数: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arccotx
• 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的函数。

1.2 极限

1.2.1 数列的极限

• 定义: 对于数列{xn}，若存在常数A，对于任意给定的ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|xn - A| < ε 成立，则称数列{xn}收敛于A，记为 lim(n→∞) xn = A。
• 极限存在准则:
  • 单调有界准则: 单调有界数列必有极限。
  • 夹逼准则 (迫敛性): 若存在数列{yn}和{zn}，使得 yn <= xn <= zn，且lim(n→∞) yn = lim(n→∞) zn = A，则lim(n→∞) xn = A。

1.2.2 函数的极限

• x→∞ 时的极限:
  • 定义：对于任意给定的ε>0，总存在X>0，使得当|x|>X时，有|f(x) - A| < ε 成立，则称函数f(x)当x→∞时极限为A，记为 lim(x→∞) f(x) = A。
  • 可分为 x→+∞, x→-∞ 两种情况。
• x→x₀ 时的极限:
  • 定义：对于任意给定的ε>0，总存在δ>0，使得当0 < |x - x₀| < δ时，有|f(x) - A| < ε 成立，则称函数f(x)当x→x₀时极限为A，记为 lim(x→x₀) f(x) = A。
  • 左极限: lim(x→x₀⁻) f(x)
  • 右极限: lim(x→x₀⁺) f(x)
  • 极限存在的充要条件: lim(x→x₀⁻) f(x) = lim(x→x₀⁺) f(x) = A

1.2.3 极限的性质

• 唯一性: 若极限存在，则极限唯一。
• 有界性: 若lim(x→x₀) f(x)存在，则f(x)在x₀的某邻域内有界。
• 保号性: 若lim(x→x₀) f(x) = A > 0，则存在x₀的某邻域，使得f(x) > 0。

1.2.4 极限的运算法则

• lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
• lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
• lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (lim g(x) ≠ 0)
• lim[cf(x)] = c · lim f(x) (c为常数)

1.2.5 两个重要极限

• lim(x→0) sinx/x = 1
• lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e 或 lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e

1.2.6 无穷小量与无穷大量

• 无穷小量: lim f(x) = 0 (f(x)为无穷小量)
• 无穷大量: lim |f(x)| = ∞ (f(x)为无穷大量)
• 无穷小量的性质:
  • 有限个无穷小量之和仍为无穷小量。
  • 有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
  • 常数与无穷小量之积为无穷小量。
• 无穷小量的比较:
  • 同阶无穷小: lim (α/β) = C ≠ 0
  • 高阶无穷小: lim (α/β) = 0 (记为 α = o(β))
  • 低阶无穷小: lim (α/β) = ∞
  • 等价无穷小: lim (α/β) = 1 (记为 α ~ β)
  • 常见等价无穷小：当x->0时，sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cosx~(x^2)/2, e^x-1~x, ln(1+x)~x, (1+x)^a - 1 ~ ax

1.3 函数的连续性

1.3.1 连续性的定义

• 函数f(x)在点x₀处连续，必须满足以下三个条件：
  • f(x₀) 存在
  • lim(x→x₀) f(x) 存在
  • lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)

1.3.2 间断点

• 第一类间断点:
  • 可去间断点: lim(x→x₀⁻) f(x) = lim(x→x₀⁺) f(x) ≠ f(x₀) 或 f(x₀)不存在。
  • 跳跃间断点: lim(x→x₀⁻) f(x) ≠ lim(x→x₀⁺) f(x)
• 第二类间断点: 左右极限至少有一个不存在（无穷间断点、振荡间断点）。

1.3.3 连续函数的性质

• 局部有界性: 若f(x)在x₀连续，则f(x)在x₀的某邻域内有界。
• 局部保号性: 若f(x)在x₀连续，且f(x₀) > 0 (或 f(x₀) < 0)，则存在x₀的某邻域，使得f(x) > 0 (或 f(x) < 0)。
• 闭区间上连续函数的性质:
  • 有界性: 若f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上有界。
  • 最大值最小值定理: 若f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上必取得最大值和最小值。
  • 介值定理: 若f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a) ≠ f(b)，则对于介于f(a)与f(b)之间的任何数C，至少存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = C。
  • 零点存在定理: 若f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = 0。

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