《数学六年级思维导图》

一、数与运算

1.1 整数

• 定义：正整数、零、负整数的统称
• 分类：
  • 按正负性：正整数、零、负整数
  • 按位数：一位数、两位数、……
• 性质：
  • 加法：交换律、结合律
  • 减法：减数与差相加等于被减数
  • 乘法：交换律、结合律、分配律
  • 除法：被除数除以除数等于商，余数小于除数
• 应用：
  • 四则混合运算：运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内）
  • 简便运算：利用运算定律简化计算
  • 解决实际问题：比例问题、工程问题、行程问题等

1.2 分数

• 定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数
• 种类：
  • 真分数：分子小于分母
  • 假分数：分子大于或等于分母
  • 带分数：一个整数和一个真分数的和
• 性质：分数的基本性质（分子分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数大小不变）
• 运算：
  • 加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按同分母分数加减法进行计算。
  • 乘法：分数乘以分数，分子乘分子，分母乘分母。
  • 除法：分数除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
• 应用：
  • 分数、小数、百分数的互化
  • 解决实际问题：分数乘除法的应用题、比例问题、百分数应用题等

1.3 小数

• 定义：由整数部分、小数点和小数部分组成
• 分类：
  • 有限小数
  • 无限小数：无限循环小数、无限不循环小数
• 性质：小数的基本性质（小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变）
• 运算：
  • 加减法：小数点对齐，相同数位对齐，进行计算
  • 乘法：先按整数乘法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点
  • 除法：先将除数变成整数，再按整数除法计算
• 应用：
  • 小数的近似数：四舍五入法、去尾法、进一法
  • 单位换算：长度单位、面积单位、体积单位等
  • 解决实际问题：购物问题、测量问题等

1.4 百分数

• 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比
• 性质：表示两个数的比率关系，不带单位
• 运算：
  • 百分数与分数的互化
  • 百分数与小数的互化
• 应用：
  • 求一个数是另一个数的百分之几
  • 求一个数的百分之几是多少
  • 已知一个数的百分之几是多少，求这个数
  • 解决实际问题：折扣问题、利息问题、纳税问题等

二、空间与图形

2.1 图形的认识与测量

• 平面图形：
  • 线段、射线、直线
  • 角：锐角、直角、钝角、平角、周角
  • 三角形：按角分（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；按边分（等腰三角形、等边三角形、不等边三角形）
  • 四边形：平行四边形、长方形、正方形、梯形
  • 圆：圆心、半径、直径、周长、面积
• 立体图形：
  • 长方体、正方体
  • 圆柱、圆锥
  • 球
• 测量：
  • 周长：围成图形一周的长度
  • 面积：物体表面或图形的大小
  • 体积：物体所占空间的大小

2.2 图形的运动

• 平移：图形沿直线方向移动，形状和大小不变
• 旋转：图形绕着一个点转动，形状和大小不变
• 轴对称：一个图形沿一条直线对折，两部分完全重合，这条直线叫对称轴

2.3 位置与方向

• 确定位置：用数对表示位置、用方向和距离表示位置
• 方向的描述：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南

三、代数初步

3.1 式与方程

• 用字母表示数：
  • 表示数量关系
  • 表示运算定律
  • 表示计算公式
• 方程：含有未知数的等式
• 解方程：求方程的解的过程
• 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
  • 等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。
• 应用：
  • 列方程解决简单的实际问题

3.2 比和比例

• 比：表示两个数相除的关系
• 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变
• 比例：表示两个比相等的式子
• 比例的性质：
  • 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
• 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。
• 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
• 应用：
  • 比例尺的应用
  • 按比例分配

四、统计与可能性

4.1 统计

• 统计图：
  • 条形统计图：能够清楚地表示出各种数量的多少
  • 折线统计图：能够清楚地表示出数量增减变化的情况
  • 扇形统计图：能够清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系
• 平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数
• 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的一个数（或最中间两个数的平均数）
• 众数：一组数据中出现次数最多的数

4.2 可能性

• 可能性的大小：用分数表示可能性的大小
• 等可能性事件：每个事件发生的可能性相等
• 非等可能性事件：各个事件发生的可能性不相等

五、实践与综合应用

5.1 解决问题的策略

• 分析法：从问题入手，逐步分析解决问题所需要的条件
• 综合法：从已知条件入手，逐步推导出问题的结果
• 画图法：利用画图帮助理解题意，分析数量关系
• 列表法：将相关数据整理成表格，便于分析和比较
• 假设法：对题目中的未知条件进行假设，然后进行推导
• 转化法：将复杂的数学问题转化为简单的数学问题
• 倒推法：从结果出发，逐步倒推到最初的条件

5.2 数学广角

• 抽屉原理（鸽巢原理）
• 优化问题
• 编码问题
• 逻辑推理

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