北师大版六年级上册数与代数思维导图

# 《北师大版六年级上册数与代数思维导图》

## 一、数的认识

### 1.1 整数

*   **概念:** 正整数、零、负整数
*   **数位顺序表:** 个位、十位、百位、千位…
*   **读法与写法:** 按照数位顺序，从高位到低位读写。
*   **大小比较:** 数位多的大，数位相同从高位比起。
*   **计数单位:** 个、十、百、千…
*   **数的改写:**
    *   **近似数:** 四舍五入法、去尾法、进一法。
    *   **改写成以“万”或“亿”为单位的数:** 移动小数点，注意添单位。
*   **负数:**
    *   **概念:** 表示相反意义的量。
    *   **读法与写法:** 在数字前加“-”号。
    *   **数轴表示:** 0的左侧。

### 1.2 分数

*   **意义:** 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
*   **分类:**
    *   **真分数:** 分子小于分母。
    *   **假分数:** 分子大于或等于分母。
    *   **带分数:** 整数部分加上真分数。
*   **分数的基本性质:** 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
*   **分数与除法的关系:** a ÷ b = a/b (b ≠ 0)
*   **约分与通分:**
    *   **约分:** 把一个分数化成与它相等但分子分母都比较小的分数。
    *   **通分:** 把几个分母不同的分数化成与它们分别相等且分母相同的分数。
*   **大小比较:**
    *   **同分母分数:** 分子大的大。
    *   **同分子分数:** 分母小的大。
    *   **异分母分数:** 先通分，再比较。
*   **分数、小数、百分数的互化:**
    *   **分数化小数:** 分子除以分母。
    *   **小数化分数:** 根据小数位数，化成分母是10、100、1000…的分数，再约分。
    *   **百分数化小数:** 去掉百分号，小数点向左移动两位。
    *   **小数化百分数:** 小数点向右移动两位，添上百分号。
    *   **百分数化分数:** 先化成分数，再约分。
    *   **分数化百分数:** 先化成小数，再化成百分数。

### 1.3 小数

*   **意义:** 是分母为10、100、1000…的分数的另一种表示形式。
*   **分类:**
    *   **有限小数:** 小数部分的位数是有限的。
    *   **无限小数:** 小数部分的位数是无限的。
        *   **无限循环小数:** 小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现。
        *   **无限不循环小数:** 小数部分没有规律。
*   **计数单位:** 十分位、百分位、千分位…
*   **读法与写法:** 按照整数部分和小数部分分别读写。
*   **大小比较:** 先比较整数部分，再比较小数部分。
*   **小数的基本性质:** 在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。
*   **单位换算:** 根据进率进行换算。

### 1.4 百分数

*   **意义:** 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
*   **读法与写法:** 先写数字，再写百分号“%”。
*   **百分数与分数的区别:** 百分数只表示两个数之间的倍数关系，不能表示具体的数量；分数既可以表示两个数之间的倍数关系，也可以表示具体的数量。
*   **应用:**
    *   **合格率:** 合格产品数/总产品数 × 100%
    *   **增长率:** (现在量 - 原来量) / 原来量 × 100%
    *   **折扣:** 商品现价/商品原价 × 100%

## 二、数的运算

### 2.1 整数的运算

*   **加法:** 加数 + 加数 = 和
    *   **运算定律:** 交换律、结合律
*   **减法:** 被减数 - 减数 = 差
*   **乘法:** 因数 × 因数 = 积
    *   **运算定律:** 交换律、结合律、分配律
*   **除法:** 被除数 ÷ 除数 = 商
*   **运算顺序:** 先乘除，后加减，有括号先算括号里面的。

### 2.2 分数的运算

*   **加法与减法:**
    *   **同分母分数:** 分母不变，分子相加减。
    *   **异分母分数:** 先通分，再按同分母分数加减法计算。
*   **乘法:** 分子乘分子，分母乘分母。
*   **除法:** 除以一个数等于乘以这个数的倒数。
*   **混合运算:** 运算顺序与整数相同。

### 2.3 小数的运算

*   **加法与减法:** 对齐小数点，按照整数加减法计算。
*   **乘法:** 按照整数乘法计算，再数出两个因数中小数位数之和，从积的右边数起，点上小数点。
*   **除法:**
    *   **除数是整数:** 按照整数除法计算，商的小数点与被除数的小数点对齐。
    *   **除数是小数:** 先把除数化成整数，同时把被除数也扩大相同的倍数，再按照除数是整数的除法计算。
*   **混合运算:** 运算顺序与整数相同。

### 2.4 百分数的运算

*   **百分数与小数、分数的互化:** 转化后再进行运算。
*   **百分数的应用:** 转化为分数或小数后，按照相应的运算规则计算。

### 2.5 简便运算

*   **加法交换律:** a + b = b + a
*   **加法结合律:** (a + b) + c = a + (b + c)
*   **乘法交换律:** a × b = b × a
*   **乘法结合律:** (a × b) × c = a × (b × c)
*   **乘法分配律:** (a + b) × c = a × c + b × c
*   **减法的性质:** a - b - c = a - (b + c)
*   **除法的性质:** a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

## 三、式与方程

### 3.1 用字母表示数

*   **表示运算定律:** 加法交换律 a + b = b + a
*   **表示计算公式:** 长方形面积 S = ab
*   **表示数量关系:** 速度 = 路程/时间
*   **注意:** 数字与字母相乘时，数字在前，字母在后；数字是1时，1可以省略。

### 3.2 方程的意义

*   **概念:** 含有未知数的等式。

### 3.3 等式的性质

*   **性质一:** 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
*   **性质二:** 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式。

### 3.4 解方程

*   **定义:** 求方程的解的过程。
*   **解法:** 运用等式的性质，使方程变形为x = a的形式。

### 3.5 列方程解决问题

*   **步骤:**
    1.  **审题，找出等量关系。**
    2.  **设未知数为x。**
    3.  **根据等量关系列方程。**
    4.  **解方程。**
    5.  **检验，写答。**

## 四、比和比例

### 4.1 比的意义

*   **定义:** 两个数相除又叫做两个数的比。
*   **各部分名称:** 前项：后项 = 比值
*   **比与除法、分数的联系:**
    *   **比:** 前项 : 后项 = 比值
    *   **除法:** 被除数 ÷ 除数 = 商
    *   **分数:** 分子 / 分母 = 分数值
*   **比的基本性质:** 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
*   **化简比:**
    *   **整数比:** 前后项同时除以它们的最大公约数。
    *   **分数比:** 前后项同时乘以它们分母的最小公倍数。
    *   **小数比:** 前后项同时扩大相同的倍数，化成整数比。

### 4.2 比例的意义

*   **定义:** 表示两个比相等的式子叫做比例。
*   **各部分名称:** 内项、外项
*   **比例的基本性质:** 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
*   **解比例:** 运用比例的基本性质，求出比例中未知项的值。

### 4.3 正比例与反比例

*   **正比例:** 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
*   **反比例:** 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
*   **判断方法:**
    *   **正比例:** y/x = k (k一定)
    *   **反比例:** x × y = k (k一定)

### 4.4 比例尺

*   **定义:** 图上距离和实际距离的比。
*   **公式:** 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
*   **分类:**
    *   **数值比例尺:** 1:100000
    *   **线段比例尺:**  (图示一段线段表示多少实际距离)
*   **应用:** 根据比例尺计算图上距离或实际距离。

这个思维导图涵盖了北师大版六年级上册数与代数的主要内容，并进行了较为详细的梳理。 学习者可以根据这个导图进行复习和巩固，把握知识结构，提高解题能力。

《北师大版六年级上册数与代数思维导图》

一、数的认识

1.1 整数

概念: 正整数、零、负整数
数位顺序表: 个位、十位、百位、千位…
读法与写法: 按照数位顺序，从高位到低位读写。
大小比较: 数位多的大，数位相同从高位比起。
计数单位: 个、十、百、千…
数的改写:
- 近似数: 四舍五入法、去尾法、进一法。
- 改写成以“万”或“亿”为单位的数: 移动小数点，注意添单位。
负数:
- 概念: 表示相反意义的量。
- 读法与写法: 在数字前加“-”号。
- 数轴表示: 0的左侧。

1.2 分数

意义: 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
分类:
- 真分数: 分子小于分母。
- 假分数: 分子大于或等于分母。
- 带分数: 整数部分加上真分数。
分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数与除法的关系: a ÷ b = a/b (b ≠ 0)
约分与通分:
- 约分: 把一个分数化成与它相等但分子分母都比较小的分数。
- 通分: 把几个分母不同的分数化成与它们分别相等且分母相同的分数。
大小比较:
- 同分母分数: 分子大的大。
- 同分子分数: 分母小的大。
- 异分母分数: 先通分，再比较。
分数、小数、百分数的互化:
- 分数化小数: 分子除以分母。
- 小数化分数: 根据小数位数，化成分母是10、100、1000…的分数，再约分。
- 百分数化小数: 去掉百分号，小数点向左移动两位。
- 小数化百分数: 小数点向右移动两位，添上百分号。
- 百分数化分数: 先化成分数，再约分。
- 分数化百分数: 先化成小数，再化成百分数。

1.3 小数

意义: 是分母为10、100、1000…的分数的另一种表示形式。
分类:
- 有限小数: 小数部分的位数是有限的。
- 无限小数: 小数部分的位数是无限的。
  - 无限循环小数: 小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现。
  - 无限不循环小数: 小数部分没有规律。
计数单位: 十分位、百分位、千分位…
读法与写法: 按照整数部分和小数部分分别读写。
大小比较: 先比较整数部分，再比较小数部分。
小数的基本性质: 在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。
单位换算: 根据进率进行换算。

1.4 百分数

意义: 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
读法与写法: 先写数字，再写百分号“%”。
百分数与分数的区别: 百分数只表示两个数之间的倍数关系，不能表示具体的数量；分数既可以表示两个数之间的倍数关系，也可以表示具体的数量。
应用:
- 合格率: 合格产品数/总产品数 × 100%
- 增长率: (现在量 - 原来量) / 原来量 × 100%
- 折扣: 商品现价/商品原价 × 100%

二、数的运算

2.1 整数的运算

加法: 加数 + 加数 = 和
- 运算定律: 交换律、结合律
减法: 被减数 - 减数 = 差
乘法: 因数 × 因数 = 积
- 运算定律: 交换律、结合律、分配律
除法: 被除数 ÷ 除数 = 商
运算顺序: 先乘除，后加减，有括号先算括号里面的。

2.2 分数的运算

加法与减法:
- 同分母分数: 分母不变，分子相加减。
- 异分母分数: 先通分，再按同分母分数加减法计算。
乘法: 分子乘分子，分母乘分母。
除法: 除以一个数等于乘以这个数的倒数。
混合运算: 运算顺序与整数相同。

2.3 小数的运算

加法与减法: 对齐小数点，按照整数加减法计算。
乘法: 按照整数乘法计算，再数出两个因数中小数位数之和，从积的右边数起，点上小数点。
除法:
- 除数是整数: 按照整数除法计算，商的小数点与被除数的小数点对齐。
- 除数是小数: 先把除数化成整数，同时把被除数也扩大相同的倍数，再按照除数是整数的除法计算。
混合运算: 运算顺序与整数相同。

2.4 百分数的运算

百分数与小数、分数的互化: 转化后再进行运算。
百分数的应用: 转化为分数或小数后，按照相应的运算规则计算。

2.5 简便运算

加法交换律: a + b = b + a
加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
乘法交换律: a × b = b × a
乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
减法的性质: a - b - c = a - (b + c)
除法的性质: a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

三、式与方程

3.1 用字母表示数

表示运算定律: 加法交换律 a + b = b + a
表示计算公式: 长方形面积 S = ab
表示数量关系: 速度 = 路程/时间
注意: 数字与字母相乘时，数字在前，字母在后；数字是1时，1可以省略。

3.2 方程的意义

概念: 含有未知数的等式。

3.3 等式的性质

性质一: 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
性质二: 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式。

3.4 解方程

定义: 求方程的解的过程。
解法: 运用等式的性质，使方程变形为x = a的形式。

3.5 列方程解决问题

步骤:
1. 审题，找出等量关系。
2. 设未知数为x。
3. 根据等量关系列方程。
4. 解方程。
5. 检验，写答。

四、比和比例

4.1 比的意义

定义: 两个数相除又叫做两个数的比。
各部分名称: 前项：后项 = 比值
比与除法、分数的联系:
- 比: 前项 : 后项 = 比值
- 除法: 被除数 ÷ 除数 = 商
- 分数: 分子 / 分母 = 分数值
比的基本性质: 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
化简比:
- 整数比: 前后项同时除以它们的最大公约数。
- 分数比: 前后项同时乘以它们分母的最小公倍数。
- 小数比: 前后项同时扩大相同的倍数，化成整数比。

4.2 比例的意义

定义: 表示两个比相等的式子叫做比例。
各部分名称: 内项、外项
比例的基本性质: 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
解比例: 运用比例的基本性质，求出比例中未知项的值。

4.3 正比例与反比例

正比例: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
反比例: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
判断方法:
- 正比例: y/x = k (k一定)
- 反比例: x × y = k (k一定)

4.4 比例尺

定义: 图上距离和实际距离的比。
公式: 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
分类:
- 数值比例尺: 1:100000
- 线段比例尺: (图示一段线段表示多少实际距离)
应用: 根据比例尺计算图上距离或实际距离。

这个思维导图涵盖了北师大版六年级上册数与代数的主要内容，并进行了较为详细的梳理。学习者可以根据这个导图进行复习和巩固，把握知识结构，提高解题能力。

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