《高一数学必修3思维导图》

一、算法初步

1.1 算法的概念

1.1.1 算法的定义

• 在有限步骤内解决某一问题所使用的明确且有限的步骤。
• 算法具有确定性，可行性，有限性。

1.1.2 算法的特征

• 有穷性： 算法必须在执行有限个步骤后终止。
• 确定性： 算法的每一个步骤必须有确切的定义，无二义性。
• 可行性： 算法的每一个步骤必须能有效执行，并得到确定的结果。
• 输入： 算法可以有零个或多个输入。
• 输出： 算法至少有一个或多个输出。

1.2 程序框图

1.2.1 程序框图的基本符号

• 起止框： 表示算法的开始和结束。
• 输入、输出框： 表示输入和输出操作。
• 处理框(赋值框)： 执行计算或赋值操作。
• 判断框： 根据条件判断执行不同的分支。
• 流程线： 连接各个框图，表示算法执行的顺序。

1.2.2 算法的三种基本结构

• 顺序结构： 按照从上到下的顺序依次执行各个步骤。
• 条件结构： 根据条件是否成立，选择执行不同的分支。
  • 单分支条件结构 (IF-THEN)
  • 双分支条件结构 (IF-THEN-ELSE)
• 循环结构： 重复执行某些步骤，直到满足特定条件为止。
  • 当型循环 (WHILE循环)：先判断条件，满足条件则执行循环体，否则退出循环。
  • 直到型循环 (UNTIL循环)：先执行循环体，再判断条件，满足条件则退出循环。

1.3 算法语句

1.3.1 输入语句

• INPUT “提示内容”; 变量

1.3.2 输出语句

• PRINT “提示内容”; 表达式

1.3.3 赋值语句

• 变量 = 表达式

1.3.4 条件语句

• IF-THEN-ELSE语句
  • IF 条件 THEN
  • 语句体1
  • ELSE
  • 语句体2
  • END IF
• IF-THEN语句
  • IF 条件 THEN
  • 语句体
  • END IF

1.3.5 循环语句

• WHILE语句
  • WHILE 条件
  • 循环体
  • WEND
• UNTIL语句
  • DO
  • 循环体
  • LOOP UNTIL 条件
• FOR语句
  • FOR 循环变量 = 初值 TO 终值 STEP 步长
  • 循环体
  • NEXT 循环变量

1.4 案例

1.4.1 求最大公约数

• 辗转相除法(欧几里得算法)
• 更相减损术

1.4.2 秦九韶算法

• 简化多项式求值运算，减少乘法次数

1.4.3 排序算法

• 直接插入排序
• 冒泡排序

二、统计

2.1 随机抽样

2.1.1 简单随机抽样

• 定义：从总体中逐个抽取个体，保证每个个体被抽到的机会相等。
• 方法：抽签法、随机数表法。
• 特点：每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的公平性。

2.1.2 系统抽样

• 定义：将总体分成若干等部分，按照预先确定的规则，抽取部分个体。
• 步骤：
  • 编号
  • 确定分段间隔K (K = N/n)
  • 在第一段内用简单随机抽样确定一个起始个体
  • 按预定的规则抽取其他个体
• 适用情况：总体容量较大，个体之间差异不大。

2.1.3 分层抽样

• 定义：将总体分成若干层，按照各层个体数占总体个体数的比例进行抽样。
• 步骤：
  • 分层
  • 确定各层需要抽取的样本量
  • 在各层内进行简单随机抽样或系统抽样
• 适用情况：总体由差异明显的几部分组成，为了使样本具有代表性。

2.2 用样本估计总体

2.2.1 样本的数字特征

• 平均数： $\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)$
• 标准差： $s = \sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2]}$
• 方差： $s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2]$
• 众数： 样本中出现次数最多的数据。
• 中位数： 将样本数据从小到大排列，位于中间位置的数据。

2.2.2 频率分布直方图

• 横轴表示数据，纵轴表示频率/组距 (频率密度)。
• 直方图的总面积等于1。
• 估计总体的分布情况。

2.2.3 茎叶图

• 保留数据的有效数字，便于比较数据之间的差异。
• 可以直观地看出数据的分布情况。

2.3 变量之间的相关关系

2.3.1 散点图

• 判断两个变量之间是否存在相关关系。

2.3.2 线性回归方程

• 利用最小二乘法求得回归方程的系数。
• 回归方程的形式： $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$
• $\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(yi - \bar{y})}{\sum{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$
• $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$

三、概率

3.1 随机事件与概率

3.1.1 随机事件

• 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
• 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
• 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

3.1.2 概率

• 定义：衡量一个随机事件发生的可能性大小的数值。
• 概率的取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1
• 频率与概率的关系：频率是概率的近似值，当实验次数足够大时，频率趋近于概率。

3.2 古典概型

3.2.1 古典概型的定义

• 试验中所有可能出现的基本事件有有限个。
• 每个基本事件出现的可能性相等。

3.2.2 古典概型的概率计算

• P(A) = $\frac{事件A包含的基本事件个数}{基本事件的总数}$

3.3 几何概型

3.3.1 几何概型的定义

• 试验的结果可以用几何区域来表示。
• 每个结果发生的可能性大小与几何区域的度量(长度、面积、体积)成正比。

3.3.2 几何概型的概率计算

• P(A) = $\frac{构成事件A的区域的度量}{整个试验区域的度量}$

3.4 互斥事件与对立事件

3.4.1 互斥事件

• 定义：两个事件不能同时发生。
• P(A∪B) = P(A) + P(B)

3.4.2 对立事件

• 定义：两个事件有且仅有一个发生。
• P(A) + P($\overline{A}$) = 1
• $\overline{A}$ 表示 A 的对立事件

3.5 独立事件同时发生的概率

3.5.1 独立事件的定义

• 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则称A,B是独立事件。

3.5.2 独立事件同时发生的概率计算

• P(A∩B) = P(A) * P(B)
• n个相互独立的事件A1, A2,...,An同时发生的概率： P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) P(A2) ...* P(An)

3.6 离散型随机变量的均值与方差

3.6.1 离散型随机变量

• 取值只能取有限个或可列个值的随机变量。

3.6.2 离散型随机变量的分布列

• 描述离散型随机变量取各个值的概率的表格。
• 满足性质：
  • 0 ≤ P(Xi) ≤ 1
  • ∑P(Xi) = 1

3.6.3 均值 (期望)

• E(X) = x1 P(X=x1) + x2 P(X=x2) + ... + xn * P(X=xn)

3.6.4 方差

• D(X) = [(x1-E(X))^2 P(X=x1) + (x2-E(X))^2 P(X=x2) + ... + (xn-E(X))^2 * P(X=xn)]

3.6.5 标准差

• $\sigma = \sqrt{D(X)}$

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