《数学思维导图初一上册》

一、有理数

1.1 正数与负数

• 概念：

  • 正数： 大于0的数。
  • 负数： 在正数前面加上“-”号的数。
  • 0： 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界。

• 表示：

  • 在实际问题中，可以用正数和负数表示具有相反意义的量。
  • 如：收入和支出，零上温度和零下温度，上升和下降等。

• 注意：

  • “0”具有特定含义，不能简单理解为“没有”。
  • “+”号有时可以省略，但“-”号必须保留。

1.2 有理数

• 概念： 整数和分数统称为有理数。

• 分类：

  • 按定义分：
    • 有理数
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
  • 按性质分：
    • 有理数
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数

• 数轴：

  • 定义： 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
  • 三要素： 原点、正方向、单位长度。
  • 作用： 直观地表示数，比较数的大小。

• 相反数：

  • 定义： 只有符号不同的两个数，互为相反数。
  • 几何意义： 在数轴上，位于原点两侧，且到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。
  • 性质： a的相反数是-a，0的相反数是0。

• 绝对值：

  • 定义： 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
  • 性质：
    • 正数的绝对值是它本身。
    • 负数的绝对值是它的相反数。
    • 0的绝对值是0。
  • 表示：
    • |a| = a (a ≥ 0)
    • |a| = -a (a < 0)

• 有理数大小的比较：

  • 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
  • 数轴上，右边的数总比左边的数大。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的运算

• 加法：

  • 法则：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 一个数同0相加，仍得这个数。
  • 运算律：
    • 交换律： a + b = b + a
    • 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)

• 减法：

  • 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a - b = a + (-b)

• 乘法：

  • 法则：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数同0相乘，都得0。
  • 运算律：
    • 交换律： a × b = b × a
    • 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
    • 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

• 除法：

  • 法则： 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
  • 性质： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数，都得0。

• 乘方：

  • 概念： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
  • 表示： aⁿ (a是底数，n是指数)
  • 符号法则：
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。

• 科学计数法：

  • 把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数。

• 混合运算：

  • 顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

二、整式的加减

2.1 单项式

• 定义： 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。

• 系数： 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

• 次数： 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

2.2 多项式

• 定义： 几个单项式的和叫做多项式。

• 项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

• 次数： 多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

• 整式： 单项式和多项式统称为整式。

2.3 同类项

• 定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。

• 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

• 法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母和字母的指数不变。

2.4 整式的加减

• 步骤：
  • 去括号： 运用乘法分配律和去括号法则。
  • 合并同类项：运用合并同类项的法则。
• 注意：
  • 去括号时，要注意括号前的符号。
  • 合并同类项时，要注意系数的符号。

三、一元一次方程

3.1 方程的定义

• 定义： 含有未知数的等式叫做方程。

• 一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程。

3.2 等式的性质

• 性质1： 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

• 性质2： 等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。

3.3 解一元一次方程

• 步骤：
  • 去分母： 在方程的两边同乘以分母的最小公倍数。
  • 去括号： 运用乘法分配律和去括号法则。
  • 移项： 把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号。
  • 合并同类项： 把方程化成ax=b的形式。
  • 系数化为1： 在方程的两边同除以未知数的系数a，得到x=b/a。

3.4 一元一次方程的应用

• 步骤：
  • 审题： 弄清题意，找出已知条件和未知条件。
  • 设未知数： 设一个适当的未知数表示所要求解的量。
  • 列方程： 根据题中的等量关系，列出方程。
  • 解方程： 解所列的方程，求出未知数的值。
  • 检验： 检验求得的值是否符合题意，写出答案。
• 常见题型：
  • 行程问题
  • 工程问题
  • 销售问题
  • 储蓄问题
  • 和差倍分问题

四、几何图形初步

4.1 立体图形与平面图形

• 立体图形： 各部分不都在同一平面内的图形。例如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。

• 平面图形： 各部分都在同一平面内的图形。例如：三角形、正方形、圆等。

4.2 直线、射线、线段

• 直线： 没有端点，可以向两方无限延伸。

• 射线： 只有一个端点，可以向一方无限延伸。

• 线段： 有两个端点，不能延伸。

• 表示方法：

  • 直线：用两个大写字母表示，如：直线AB，或用一个小写字母表示，如：直线l。
  • 射线：用端点和射线上任意一点表示，如：射线OA，端点字母在前。
  • 线段：用两个端点表示，如：线段AB。

• 两点确定一条直线： 经过两点有且只有一条直线。

• 两点之间，线段最短： 连接两点的所有线中，线段最短。

4.3 角

• 定义： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

• 表示方法：

  • 用三个大写字母表示，如：∠AOB，顶点字母放在中间。
  • 用一个大写字母表示，如：∠O，但顶点处只有一个角时才能这样表示。
  • 用数字表示，如：∠1。
  • 用希腊字母表示，如：∠α。

• 角的度量： 用量角器度量，单位是度、分、秒。

• 角的分类：

  • 锐角：小于90°的角。
  • 直角：等于90°的角。
  • 钝角：大于90°且小于180°的角。
  • 平角：等于180°的角。
  • 周角：等于360°的角。

• 角的比较与运算： 可以进行加减运算。

• 角的平分线： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

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