《高一数学必修4思维导图》

I. 角的概念的推广

• A. 角的定义

  • 1. 定义：一条射线绕其端点从起始位置旋转到终止位置形成的图形。
  • 2. 构成要素：始边、终边、顶点。

• B. 角的分类

  • 1. 按旋转方向：
       • a. 正角：逆时针旋转。
       • b. 负角：顺时针旋转。
       • c. 零角：射线未作任何旋转。
  • 2. 按终边位置：
       • a. 象限角：终边落在第几象限，就称之为第几象限角。（注意：终边落在坐标轴上不属于任何象限角。）
       • b. 轴线角：终边落在坐标轴上的角。

• C. 终边相同的角

  • 1. 公式：与角 α 终边相同的角可表示为： α + k·360° (k ∈ Z)。
  • 2. 应用：
       • a. 求已知角终边相同的角的集合。
       • b. 判断两个角是否终边相同。

• D. 弧度制

  • 1. 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
  • 2. 公式：
       • a. 角的弧度数：|α| = l/r （l为弧长，r为半径）
       • b. 度与弧度的转换：
       • i. 360° = 2π rad
       • ii. 180° = π rad
       • iii. 1° = π/180 rad
       • iv. 1 rad = (180/π)°
  • 3. 弧长公式：l = |α|r
  • 4. 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

II. 三角函数的定义

• A. 任意角的三角函数

  • 1. 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
       • a. 正弦：sin α = y
       • b. 余弦：cos α = x
       • c. 正切：tan α = y/x (x ≠ 0)
  • 2. 三角函数值的符号：
       • a. 第一象限：sinα, cosα, tanα 均为正
       • b. 第二象限：sinα 为正，cosα, tanα 为负
       • c. 第三象限：tanα 为正，sinα, cosα 为负
       • d. 第四象限：cosα 为正，sinα, tanα 为负
  • 3. 三角函数线的几何表示：正弦线、余弦线、正切线。

• B. 特殊角的三角函数值

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° (熟练记忆正弦、余弦、正切值)

• C. 同角三角函数的基本关系

  • 1. 平方关系：sin²α + cos²α = 1
  • 2. 商数关系：tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
  • 3. 倒数关系：tan α · cot α = 1 （理解 cot α = cos α / sin α）
  • 4. 应用：已知一个三角函数值，求其他三角函数值（注意象限判断符号）。

III. 三角函数的图像与性质

• A. 正弦函数 y = sin x 的图像与性质

  • 1. 图像：正弦曲线
  • 2. 定义域：R
  • 3. 值域：[-1, 1]
  • 4. 周期性：周期 T = 2π
  • 5. 奇偶性：奇函数 (sin(-x) = -sin x)
  • 6. 单调性：
       • a. 在 [-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增
       • b. 在 [(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递减
  • 7. 对称性：关于点 (kπ, 0) (k ∈ Z) 对称，关于直线 x = (π/2) + kπ (k ∈ Z) 对称。
  • 8. 最大值与最小值：最大值为 1，最小值为 -1。

• B. 余弦函数 y = cos x 的图像与性质

  • 1. 图像：余弦曲线
  • 2. 定义域：R
  • 3. 值域：[-1, 1]
  • 4. 周期性：周期 T = 2π
  • 5. 奇偶性：偶函数 (cos(-x) = cos x)
  • 6. 单调性：
       • a. 在 [2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递减
       • b. 在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增
  • 7. 对称性：关于点 ((π/2) + kπ, 0) (k ∈ Z) 对称，关于直线 x = kπ (k ∈ Z) 对称。
  • 8. 最大值与最小值：最大值为 1，最小值为 -1。

• C. 正切函数 y = tan x 的图像与性质

  • 1. 图像：正切曲线
  • 2. 定义域：{x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z}
  • 3. 值域：R
  • 4. 周期性：周期 T = π
  • 5. 奇偶性：奇函数 (tan(-x) = -tan x)
  • 6. 单调性：在区间 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z) 上单调递增。
  • 7. 对称性：关于点 (kπ/2, 0) (k ∈ Z)对称。
  • 8. 无最大值，无最小值。

• D. 函数 y = Asin(ωx + φ) 的图像与性质

  • 1. 振幅：|A|
  • 2. 周期：T = 2π/|ω|
  • 3. 频率：f = 1/T = |ω|/2π
  • 4. 相位：ωx + φ
  • 5. 初相：φ (φ > 0, 左移；φ < 0, 右移)
  • 6. 图像变换：平移、伸缩变换

IV. 三角恒等变换

• A. 和角公式与差角公式

  • 1. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  • 2. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
  • 3. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
  • 4. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  • 5. tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
  • 6. tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)

• B. 二倍角公式

  • 1. sin 2α = 2 sin α cos α
  • 2. cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • 3. tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan²α)

• C. 半角公式 (一般不用)

  • 1. sin (α/2) = ±√[(1 - cos α)/2]
  • 2. cos (α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]
  • 3. tan (α/2) = ±√[(1 - cos α)/(1 + cos α)] = (sin α)/(1 + cos α) = (1 - cos α)/(sin α)

• D. 辅助角公式

  • asin x + bcos x = √(a² + b²) sin(x + φ) ，其中 tan φ = b/a

• E. 积化和差与和差化积（了解）

V. 平面向量

• A. 向量的概念

  • 1. 定义：既有大小又有方向的量。
  • 2. 表示：用有向线段表示，如： a, AB。
  • 3. 模：向量的长度，记作 |a| 或 |AB|。
  • 4. 零向量：长度为0的向量，记作 0。 零向量方向任意，但通常认为与任何向量平行。
  • 5. 单位向量：长度为1的向量。
  • 6. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。 a ∥ b
  • 7. 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
  • 8. 相反向量：长度相等但方向相反的向量。

• B. 向量的线性运算

  • 1. 向量的加法：
       • a. 三角形法则
       • b. 平行四边形法则
       • c. 运算律：a + b = b + a ; (a + b) + c = a + (b + c)
  • 2. 向量的减法：
       • a. a - b = a + (-b)
       • b. OA - OB = BA
  • 3. 向量的数乘：
       • a. λa （λ ∈ R）
       • b. 运算律： λ(μa) = (λμ)a ; (λ + μ)a = λa + μa ; λ(a + b) = λa + λb
  • 4. 向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线 ⇔ 存在唯一实数 λ，使得 b = λa。

• C. 平面向量的基本定理

  • 1. 定义：如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1, λ2，使 a = λ1e1 + λ2e2。 其中 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

• D. 平面向量的坐标运算

  • 1. 向量的坐标表示：a = (x, y)
  • 2. 向量加法：a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
  • 3. 向量减法：a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
  • 4. 向量数乘：λa = (λx, λy)
  • 5. 向量共线的坐标表示： a ∥ b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0 (其中 a = (x1, y1), b = (x2, y2))

• E. 平面向量的数量积

  • 1. 定义：a · b = |a| |b| cos θ （θ 为 a 与 b 的夹角）
  • 2. 几何意义：a · b 等于 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos θ 的乘积。
  • 3. 运算律：
       • a. a · b = b · a
       • b. λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb)
       • c. (a + b) · c = a · c + b · c
  • 4. 向量垂直的判定：a ⊥ b ⇔ a · b = 0
  • 5. 模长公式：|a| = √(a · a)
  • 6. 夹角公式：cos θ = (a · b) / (|a| |b|)
  • 7. 坐标运算：a · b = x1x2 + y1y2 (其中 a = (x1, y1), b = (x2, y2))