《高中数学知识思维导图》
一、集合与常用逻辑用语
1. 集合
- 1.1 集合的概念与表示
- 1.1.1 集合的定义：具有某种特定性质的对象的全体。
- 1.1.2 集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图。
- 1.1.3 元素的特性：确定性、互异性、无序性。
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.2.1 子集：A⊆B，A中的元素都在B中。
- 1.2.2 真子集：A⊂B，A是B的子集，且B中至少有一个元素不在A中。
- 1.2.3 空集：∅，不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
- 1.2.4 集合相等：A=B，A⊆B且B⊆A。
- 1.3 集合的基本运算
- 1.3.1 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
- 1.3.2 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
- 1.3.3 补集：∁UA = {x | x∈U 且 x∉A}，U为全集。
- 1.4 集合的应用
- 1.4.1 解决实际问题：数形结合，Venn图的应用。
- 1.4.2 集合与方程、不等式：解集、参数范围。
2. 常用逻辑用语
- 2.1 命题及其关系
- 2.1.1 命题的定义：可以判断真假的语句。
- 2.1.2 命题的四种形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
- 2.1.3 四种命题的关系：互为逆否关系的命题等价。
- 2.2 充分条件与必要条件
- 2.2.1 充分条件：p⇒q，p是q的充分条件。
- 2.2.2 必要条件：q⇒p，p是q的必要条件。
- 2.2.3 充要条件：p⇔q，p是q的充要条件。
- 2.3 逻辑联结词
- 2.3.1 "且" (∧)：p∧q，p和q同时为真时，p∧q为真。
- 2.3.2 "或" (∨)：p∨q，p和q至少有一个为真时，p∨q为真。
- 2.3.3 "非" (¬)：¬p，p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。
- 2.4 全称量词与存在量词
- 2.4.1 全称量词 (∀)：∀x∈A，p(x)表示A中所有x都满足p(x)。
- 2.4.2 存在量词 (∃)：∃x∈A，p(x)表示A中存在x满足p(x)。
- 2.4.3 含全称量词命题的否定：¬(∀x∈A，p(x)) ⇔ ∃x∈A，¬p(x)。
- 2.4.4 含存在量词命题的否定：¬(∃x∈A，p(x)) ⇔ ∀x∈A，¬p(x)。
二、函数与导数
1. 函数的概念与性质
- 1.1 函数的概念
- 1.1.1 函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。
- 1.1.2 定义域、值域、对应法则。
- 1.1.3 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
- 1.2 函数的性质
- 1.2.1 单调性：增函数、减函数。
- 判断方法：定义法、导数法。
- 1.2.2 奇偶性：奇函数、偶函数。
- 奇函数：f(-x) = -f(x)。
- 偶函数：f(-x) = f(x)。
- 1.2.3 周期性：周期函数，T为周期。
- 1.2.4 对称性：关于点对称，关于直线对称。
- 1.2.1 单调性：增函数、减函数。
- 1.3 基本初等函数
- 1.3.1 指数函数：y = ax (a>0, a≠1)。
- 1.3.2 对数函数：y = logax (a>0, a≠1)。
- 1.3.3 幂函数：y = xa。
- 1.3.4 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数。
- 1.3.5 反三角函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。
- 1.4 函数的图像
- 1.4.1 图像的平移、伸缩、对称变换。
- 1.4.2 函数图像的应用：求解方程的根、不等式的解。
- 1.5 函数的应用
- 1.5.1 函数模型：建立函数模型解决实际问题。
- 1.5.2 函数与方程：二分法求解方程的近似解。
2. 导数及其应用
- 2.1 导数的概念
- 2.1.1 导数的定义：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx。
- 2.1.2 导数的几何意义：切线的斜率。
- 2.1.3 导数的物理意义：瞬时速度。
- 2.2 导数的运算
- 2.2.1 基本初等函数的导数公式。
- 2.2.2 导数的运算法则：
- (u±v)' = u' ± v'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v - uv') / v2
- 2.3 导数的应用
- 2.3.1 函数的单调性：f'(x)>0时，函数单调递增；f'(x)<0时，函数单调递减。
- 2.3.2 函数的极值与最值：
- 极值：f'(x)=0，且f'(x)左右两侧符号相反。
- 最值：求解区间端点值和极值，比较大小。
- 2.3.3 曲线的切线方程：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)。
- 2.3.4 解决实际问题：优化问题，最大利润、最小成本。
三、三角函数与平面向量
(内容省略，后续补充：三角函数定义、图像与性质、三角恒等变换、解三角形、平面向量的概念、线性运算、数量积、平面向量的应用)
四、数列
(内容省略，后续补充：数列的概念、等差数列、等比数列、数列的求和、数列的应用)
五、不等式
(内容省略，后续补充：不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式、线性规划、不等式的应用)
六、立体几何
(内容省略，后续补充：空间几何体的结构、三视图与直观图、空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与平面平行/垂直的判定与性质、平面与平面平行/垂直的判定与性质、空间向量与立体几何)
七、计数原理、概率与统计
(内容省略，后续补充：计数原理、排列与组合、二项式定理、随机事件与概率、离散型随机变量及其分布、统计)
八、解析几何
(内容省略，后续补充：直线与方程、圆与方程、椭圆、双曲线、抛物线)
九、算法初步与程序框图
(内容省略，后续补充：算法的概念、程序框图、基本算法语句)