《高中函数知识点总结思维导图》
一、 函数概念与表示
1.1 函数的定义
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概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
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要素： 定义域、值域、对应法则。
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定义域： x的取值范围 (使函数有意义的x的集合)
- 分母不为0
- 偶次根式下非负
- 对数真数大于0，底数大于0且不等于1
- 零次幂的底数不为0
- 实际问题考虑实际意义
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值域： y的取值范围（函数值的集合）
- 观察法
- 配方法
- 反函数法
- 换元法
- 不等式法
- 导数法
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对应法则： y=f(x)
1.2 函数的表示方法
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解析法： 用含自变量的数学表达式表示函数关系
- 优点：简明、准确、便于计算
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图像法： 用坐标平面上的点集表示函数关系
- 优点：直观、形象
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列表法： 列出表格来表示函数关系
- 优点：便于查找对应关系，实际问题常用
1.3 函数的图像
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作图：
- 描点法
- 变换法
- 平移变换：左加右减，上加下减
- 伸缩变换：y不变，x变；x不变，y变
- 对称变换：关于x轴对称，y变号；关于y轴对称，x变号；关于原点对称，x,y都变号；关于y=x对称，x,y互换
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图像的识别：
- 定义域、值域
- 单调性
- 奇偶性
- 特殊点
二、 函数的基本性质
2.1 单调性
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定义：
- 增函数：在定义域内，如果对于任意的 x1 < x2，都有 f(x1) < f(x2)
- 减函数：在定义域内，如果对于任意的 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2)
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判断方法：
- 定义法：
- 取值
- 作差
- 变形
- 定号
- 下结论
- 导数法： f'(x) > 0 增函数， f'(x) < 0 减函数
- 图像法：观察图像
- 定义法：
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应用：
- 比较大小
- 解不等式
- 求最值
2.2 奇偶性
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定义：
- 奇函数：f(-x) = -f(x) 定义域关于原点对称，图像关于原点对称
- 偶函数：f(-x) = f(x) 定义域关于原点对称，图像关于y轴对称
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判断方法：
- 定义法：计算 f(-x) 与 f(x) 的关系
- 图像法：观察图像
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应用：
- 简化函数图像
- 简化计算
2.3 周期性
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定义： 存在常数T，使得 f(x+T) = f(x) 对于定义域内的任意x都成立，则称函数f(x)是周期函数，T为周期。
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判断方法：
- 直接利用定义
- 利用 f(x+a) = -f(x) 推出 T = 2a
- 利用 f(x+a) = 1/f(x) 推出 T = 2a
- 利用 f(x+a) = -1/f(x) 推出 T = 2a
- 利用 f(x+a) = (f(x) + 1) / (f(x) - 1) 推出 T = 2a
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应用：
- 简化函数图像
- 简化计算
2.4 对称性
- 关于直线x=a对称：f(a+x) = f(a-x)
- 关于点(a,0)对称：f(a+x) = -f(a-x)
三、 基本初等函数
3.1 指数函数
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定义： y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)
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图像与性质：
- a > 1 时，单调递增，值域为(0, +∞)
- 0 < a < 1 时，单调递减，值域为(0, +∞)
- 恒过点 (0, 1)
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指数运算性质：
- a^m * a^n = a^(m+n)
- a^m / a^n = a^(m-n)
- (a^m)^n = a^(mn)
3.2 对数函数
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定义： y = logₐx (a > 0 且 a ≠ 1)
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图像与性质：
- a > 1 时，单调递增，值域为R
- 0 < a < 1 时，单调递减，值域为R
- 恒过点 (1, 0)
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对数运算性质：
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN
- logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
- logₐMⁿ = nlogₐM
- 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)
3.3 幂函数
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定义： y = x^α (α ∈ R)
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性质： 取决于 α 的值，讨论不同 α 的图像与性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性)
- α > 0 时，图像过原点
- α < 0 时，图像不过原点
3.4 三角函数 (后续章节内容，此处仅提及)
- 正弦函数 y = sin x
- 余弦函数 y = cos x
- 正切函数 y = tan x
四、 函数的应用
4.1 函数与方程
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零点： f(x) = 0 的根
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零点存在性定理： 在区间[a, b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个零点。
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二分法： 逐步逼近零点的方法
4.2 函数模型及其应用
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常见函数模型：
- 一次函数模型
- 二次函数模型
- 指数函数模型
- 对数函数模型
- 分段函数模型
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应用步骤：
- 理解题意
- 建立模型
- 求解模型
- 回归实际
五、导数及其应用 (导数与函数关系密切，此处提及)
5.1 导数的概念
- 平均变化率
- 瞬时变化率（导数）
5.2 导数的几何意义
- 切线斜率
5.3 导数的运算
- 基本初等函数的导数公式
- 导数的四则运算法则
5.4 导数的应用
- 判断函数的单调性
- 求函数的极值与最值
- 解决实际问题
This breakdown provides a comprehensive overview of high school function concepts, suitable for use as a mind map. Remember to visually organize this information in a mind map format for optimal learning and recall. Good luck!