《高中三角函数的思维导图》

I. 角度与弧度

A. 角度制

1. 定义：将圆周等分成360份，每一份所对的圆心角定义为1度，记作1°。
2. 特点：简单易懂，符合日常习惯。
3. 缺点：在数学运算中不方便，尤其是在涉及弧长和扇形面积时。

B. 弧度制

1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。
2. 特点：以弧长与半径的比值来度量角度。
3. 优点：在数学运算中更为方便，尤其是在涉及弧长、扇形面积以及微积分等问题时。
4. 换算：
   • 角度转弧度： 1° = π/180 rad
   • 弧度转角度： 1 rad = (180/π)°
5. 特殊角的弧度值：
   • 0° = 0 rad
   • 30° = π/6 rad
   • 45° = π/4 rad
   • 60° = π/3 rad
   • 90° = π/2 rad
   • 180° = π rad
   • 270° = 3π/2 rad
   • 360° = 2π rad

C. 弧长与扇形面积

1. 弧长公式： l = |α|r，其中l为弧长，α为弧度，r为半径。
2. 扇形面积公式：
   • S = (1/2)lr，其中l为弧长，r为半径。
   • S = (1/2)|α|r²，其中α为弧度，r为半径。

II. 三角函数的定义

A. 任意角三角函数

1. 定义：设任意角α的终边上任意一点P(x, y)，它到原点的距离为r (r>0)，则：
   • 正弦：sinα = y/r
   • 余弦：cosα = x/r
   • 正切：tanα = y/x (x≠0)
   • 余切：cotα = x/y (y≠0)
   • 正割：secα = r/x (x≠0)
   • 余割：cscα = r/y (y≠0)
2. 符号规律：
   • 一全正，二正弦，三正切，四余弦（即在各个象限，哪些三角函数为正值）。

B. 单位圆与三角函数线

1. 单位圆：半径为1的圆。
2. 三角函数线：
   • 正弦线：MP，表示sinα
   • 余弦线：OM，表示cosα
   • 正切线：AT，表示tanα

III. 三角恒等变换

A. 基本关系式

1. 倒数关系：
   • sinα * cscα = 1
   • cosα * secα = 1
   • tanα * cotα = 1
2. 商数关系：
   • tanα = sinα/cosα
   • cotα = cosα/sinα
3. 平方关系：
   • sin²α + cos²α = 1
   • 1 + tan²α = sec²α
   • 1 + cot²α = csc²α

B. 诱导公式

1. 公式一：sin(α+2kπ) = sinα, cos(α+2kπ) = cosα, tan(α+2kπ) = tanα (k∈Z)
2. 公式二：sin(π+α) = -sinα, cos(π+α) = -cosα, tan(π+α) = tanα
3. 公式三：sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
4. 公式四：sin(π-α) = sinα, cos(π-α) = -cosα, tan(π-α) = -tanα
5. 公式五：sin(π/2-α) = cosα, cos(π/2-α) = sinα, tan(π/2-α) = cotα
6. 公式六：sin(π/2+α) = cosα, cos(π/2+α) = -sinα, tan(π/2+α) = -cotα

C. 和角与差角公式

1. sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
2. cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
3. tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

D. 倍角公式

1. sin2α = 2sinαcosα
2. cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
3. tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)

E. 半角公式

(使用较少，需要时查阅)

F. 万能公式

(使用较少，需要时查阅)

G. 积化和差与和差化积

(使用较少，需要时查阅)

IV. 三角函数的图像与性质

A. 正弦函数 y = sinx

1. 定义域：R
2. 值域：[-1, 1]
3. 周期性：T = 2π
4. 奇偶性：奇函数
5. 单调性：
   • 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]上单调递增 (k∈Z)
   • 在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]上单调递减 (k∈Z)
6. 对称性：关于点(kπ, 0)对称，关于直线 x = π/2 + kπ 对称 (k∈Z)

B. 余弦函数 y = cosx

1. 定义域：R
2. 值域：[-1, 1]
3. 周期性：T = 2π
4. 奇偶性：偶函数
5. 单调性：
   • 在[-π + 2kπ, 2kπ]上单调递增 (k∈Z)
   • 在[2kπ, π + 2kπ]上单调递减 (k∈Z)
6. 对称性：关于点(π/2 + kπ, 0)对称，关于直线 x = kπ 对称 (k∈Z)

C. 正切函数 y = tanx

1. 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}
2. 值域：R
3. 周期性：T = π
4. 奇偶性：奇函数
5. 单调性：在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)上单调递增 (k∈Z)
6. 对称性：关于点(π/2 + kπ, 0)对称 (k∈Z)

D. 振幅、周期、相位、初相

1. 函数 y = Asin(ωx + φ)的意义：
   • A：振幅
   • T = 2π/ω：周期
   • ωx + φ：相位
   • φ：初相

E. 函数图像变换

1. 平移变换：左加右减
2. 伸缩变换：改变周期和振幅
3. 对称变换：关于x轴对称，关于y轴对称

V. 解三角形

A. 正弦定理

1. a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R是三角形外接圆的半径。
2. 应用：
   • 已知两角和一边，求其他边和角。
   • 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角。（可能有多解）

B. 余弦定理

1. a² = b² + c² - 2bccosA
2. b² = a² + c² - 2accosB
3. c² = a² + b² - 2abcosC
4. 应用：
   • 已知三边，求角。
   • 已知两边和它们的夹角，求第三边和角。

C. 面积公式

1. S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
2. S = pr，其中p为半周长，r为内切圆半径。
3. 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

VI. 反三角函数 (选学)

A. 反正弦函数 y = arcsinx

B. 反余弦函数 y = arccosx

C. 反正切函数 y = arctanx

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