高中数学思维导图清晰
《高中数学思维导图清晰》
一、 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
- 定义： 一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
- 元素特征： 确定性、互异性、无序性。
- 表示方法： 列举法、描述法、 Venn 图法。
1.1.2 集合间的关系
- 子集： A⊆B (A 的所有元素都是 B 的元素)。
- 真子集： A⊂B (A⊆B 且 A≠B)。
- 空集： ∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集)。
- 相等： A=B (A⊆B 且 B⊆A)。
1.1.3 集合的运算
- 并集： A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
- 交集： A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
- 补集： ∁UA = {x | x∈U 且 x∉A} (U 为全集)
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与逻辑联结词
- 命题： 可以判断真假的语句。
- 逻辑联结词：
- 或 (∨)： p∨q，p、q 至少有一个为真，则 p∨q 为真。
- 且 (∧)： p∧q，p、q 都为真，则 p∧q 为真。
- 非 (¬)： ¬p，p 为真，则 ¬p 为假；p 为假，则 ¬p 为真。
1.2.2 四种命题及其关系
- 原命题： 若 p 则 q。
- 逆命题： 若 q 则 p。
- 否命题： 若 ¬p 则 ¬q。
- 逆否命题： 若 ¬q 则 ¬p。
- 关系： 原命题与逆否命题互为逆否命题，互为等价命题；逆命题与否命题互为逆否命题，互为等价命题。
1.2.3 充分条件、必要条件与充要条件
- 充分条件： p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件。
- 必要条件： q ⇒ p，则 p 是 q 的必要条件。
- 充要条件： p ⇔ q，则 p 是 q 的充要条件，也称等价条件。
1.2.4 全称量词与存在量词
- 全称量词 (∀)： “所有的”、“任意的”。 ∀x∈M, p(x) 表示 M 中所有元素 x，p(x) 都成立。
- 存在量词 (∃)： “存在一个”、“至少有一个”。 ∃x∈M, p(x) 表示 M 中存在元素 x，p(x) 成立。
- 全称命题的否定： ¬(∀x∈M, p(x)) 等价于 ∃x∈M, ¬p(x)。
- 存在命题的否定： ¬(∃x∈M, p(x)) 等价于 ∀x∈M, ¬p(x)。
二、 函数与导数
2.1 函数
2.1.1 函数的概念与表示
- 定义： 设 A, B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作： y=f(x), x∈A。
- 定义域： 集合 A。
- 值域： {y | y=f(x), x∈A}。
- 表示方法： 解析法、图像法、列表法。
2.1.2 函数的性质
- 单调性： 增函数、减函数。
- 奇偶性： 奇函数 f(-x) = -f(x)，偶函数 f(-x) = f(x)。
- 周期性： f(x+T) = f(x)。
- 对称性： 关于点对称、关于直线对称。
2.1.3 常见的函数
- 一次函数： f(x) = kx + b (k≠0)。
- 二次函数： f(x) = ax² + bx + c (a≠0)。
- 反比例函数： f(x) = k/x (k≠0)。
- 指数函数： f(x) = aˣ (a>0, a≠1)。
- 对数函数： f(x) = logₐx (a>0, a≠1)。
- 幂函数： f(x) = xᵃ (α∈R)。
2.2 导数
2.2.1 导数的概念
- 定义： 函数 y=f(x) 在 x₀ 处的导数： f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx。
2.2.2 导数的几何意义
- 切线斜率： f'(x₀) 表示曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线的斜率。
2.2.3 导数的运算
- 基本初等函数的导数公式： (c)' = 0, (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (eˣ)' = eˣ, (lnx)' = 1/x。
- 导数的运算法则：
- [u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)。
- [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
- [u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² (v(x)≠0)。
2.2.4 导数的应用
- 判断函数的单调性： f'(x) > 0，则 f(x) 递增；f'(x) < 0，则 f(x) 递减。
- 求函数的极值与最值：
- 极值：f'(x) = 0 的点为极值点。
- 最值：在闭区间 [a, b] 上，比较 f(a)、f(b) 和极值点处的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。
三、 三角函数与解三角形
3.1 三角函数
3.1.1 角的概念与弧度制
- 角的概念： 角的定义、正角、负角、零角。
- 弧度制： 1 弧度的角，长度等于半径的弧所对的圆心角。 角度与弧度的换算： 180° = π rad。
3.1.2 三角函数的定义
- 定义： 在直角坐标系中，以原点为圆心，以 r 为半径作圆，设角 α 的终边与圆交于点 P(x, y)，则 sinα = y/r, cosα = x/r, tanα = y/x。
3.1.3 三角函数的图像与性质
- 图像： 正弦曲线、余弦曲线、正切曲线。
- 性质： 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
3.1.4 三角恒等变换
- 同角三角函数的基本关系： sin²α + cos²α = 1, tanα = sinα/cosα。
- 诱导公式： sin(π/2 ± α), cos(π/2 ± α), tan(π/2 ± α) 等的公式。
- 和角公式与差角公式： sin(α ± β), cos(α ± β), tan(α ± β)。
- 二倍角公式： sin2α, cos2α, tan2α。
3.2 解三角形
3.2.1 正弦定理
- 公式： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R 为外接圆半径)。
3.2.2 余弦定理
- 公式： a² = b² + c² - 2bccosA, b² = a² + c² - 2accosB, c² = a² + b² - 2abcosC。
3.2.3 应用
- 已知两角和一边解三角形。
- 已知两边和一角解三角形 (注意解的个数)。
- 已知三边解三角形。
- 三角形面积公式： S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB。
