《高中数学必修四第一章思维导图》
一、角的概念的推广
1.1 任意角
1.1.1 定义
- 角的形成： 由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
- 始边、终边、顶点：
- 始边：起始位置的射线。
- 终边：终止位置的射线。
- 顶点：旋转的端点。
- 正角、负角、零角：
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角 (通常认为是正)。
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角 (通常认为是负)。
- 零角：射线没有做任何旋转，即始边和终边重合。
1.1.2 角的度量
- 角度制：
- 定义：将一个圆周等分成360份，每一份所对的圆心角叫做1度的角，记作 1°。
- 单位：度 (°), 分 ('), 秒 (")， 且 1° = 60', 1' = 60"。
- 弧度制：
- 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 1 rad。
- 计算公式：|α| = l/r (l为弧长，r为半径，α为弧度)。
- 单位：弧度 (rad)。 通常省略不写。
- 角度制与弧度制的换算：
- 180° = π rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = (180/π)°
1.1.3 象限角、终边相同的角
- 象限角： 将角放入直角坐标系中，角的终边落在第几象限，就称此角为第几象限角。
- 轴线角： 角的终边落在坐标轴上，这样的角称为轴线角。
- 终边相同的角：
- 定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S = {β | β = α + 2kπ, k∈Z} (弧度制)。
- 角度制表达： S = {β | β = α + k * 360°, k∈Z}
1.2 弧长与扇形面积公式
1.2.1 弧长公式
- l = |α| * r (l为弧长，|α|为圆心角弧度数的绝对值，r为半径)
1.2.2 扇形面积公式
- S = (1/2) l r (l为弧长，r为半径)
- S = (1/2) |α| r² (α为圆心角的弧度数，r为半径)
二、三角函数的定义
2.1 任意角的三角函数
2.1.1 定义
- 三角函数线的定义: 在直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径作单位圆，对于任意角α，设其终边与单位圆交于点P(x, y)。
- 正弦函数 (sin α)： sin α = y （P点的纵坐标）
- 余弦函数 (cos α)： cos α = x （P点的横坐标）
- 正切函数 (tan α)： tan α = y/x (x ≠ 0) （P点的纵坐标与横坐标的比值）
2.1.2 各象限三角函数值的符号
- 第一象限： sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0
- 第二象限： sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0
- 第三象限： sin α < 0, cos α < 0, tan α > 0
- 第四象限： sin α < 0, cos α > 0, tan α < 0
- 记忆口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦。
2.1.3 特殊角的三角函数值
-
角 α (°) 角 α (rad) sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° π/6 1/2 √3/2 √3/3 45° π/4 √2/2 √2/2 1 60° π/3 √3/2 1/2 √3 90° π/2 1 0 不存在 180° π 0 -1 0 270° 3π/2 -1 0 不存在 360° 2π 0 1 0
2.2 同角三角函数的基本关系式
2.2.1 平方关系
- sin²α + cos²α = 1
2.2.2 商数关系
- tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
2.2.3 其他关系（常用于化简、证明）
- sin α = tan α * cos α
- cos α = sin α / tan α
2.3 三角函数的诱导公式
2.3.1 公式一
- sin (α + 2kπ) = sin α, k∈Z
- cos (α + 2kπ) = cos α, k∈Z
- tan (α + 2kπ) = tan α, k∈Z
2.3.2 公式二
- sin (π + α) = - sin α
- cos (π + α) = - cos α
- tan (π + α) = tan α
2.3.3 公式三
- sin (- α) = - sin α
- cos (- α) = cos α
- tan (- α) = - tan α
2.3.4 公式四
- sin (π - α) = sin α
- cos (π - α) = - cos α
- tan (π - α) = - tan α
2.3.5 公式五
- sin (π/2 - α) = cos α
- cos (π/2 - α) = sin α
2.3.6 公式六
- sin (π/2 + α) = cos α
- cos (π/2 + α) = - sin α
2.3.7 口诀
- 奇变偶不变，符号看象限。 (针对π/2 ± α, π ± α等形式)
- 奇变偶不变：角度是π/2的奇数倍，函数名称改变；角度是π/2的偶数倍，函数名称不变。
- 符号看象限：将α看作锐角，根据 (kπ/2 ± α) 所在象限判断原三角函数值的符号。
三、三角函数的图像与性质 (后续章节会详细展开)
3.1 正弦函数 y = sin x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 奇函数
- 图像： 正弦曲线
3.2 余弦函数 y = cos x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 偶函数
- 图像： 余弦曲线
3.3 正切函数 y = tan x
- 定义域： {x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}
- 值域： R
- 周期性： T = π
- 奇偶性： 奇函数
- 图像： 正切曲线
这部分内容虽然在必修四第一章有所提及，但更多的是为后续章节的学习做铺垫。完整详细的图像与性质分析将在后续的函数章节中展开。 重要的是理解三种基本三角函数的定义、符号法则、诱导公式以及同角三角函数关系，为后续学习打下坚实的基础。