高中数学必修一函数思维导图
《高中数学必修一函数思维导图》
一、 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
- 定义： 具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
- 元素： 组成集合的每个对象称为该集合的元素。
- 集合的表示方法：
- 列举法： 将集合的所有元素一一列举出来，写在大括号内。
- 描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合，{x | p(x)}。
- Venn图法： 用封闭曲线的内部表示集合。
- 集合的分类：
- 有限集： 含有有限个元素的集合。
- 无限集： 含有无限个元素的集合。
- 空集： 不含任何元素的集合，记作∅。
- 元素与集合的关系：
- 集合与集合的关系：
- 子集：A ⊆ B，即A中所有元素都是B中的元素。
- 真子集：A ⊂ B，A ⊆ B且A ≠ B。
- 相等：A = B，A ⊆ B且B ⊆ A。
1.1.2 集合的基本运算
- 并集： A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
- 交集： A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
- 补集： CUA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}，U为全集。
1.1.3 集合的应用
- 解决实际问题，例如：分类、统计、逻辑推理等。
- 作为函数定义域、值域等的基础。
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题
- 定义： 可以判断真假的语句。
- 真命题： 判断为真的命题。
- 假命题： 判断为假的命题。
- 构成命题的逻辑联结词：
- 或(∨)： p∨q，p、q至少有一个为真，则p∨q为真；p、q都为假，则p∨q为假。
- 且(∧)： p∧q，p、q都为真，则p∧q为真；p、q至少有一个为假，则p∧q为假。
- 非(¬)： ¬p，p为真，则¬p为假；p为假，则¬p为真。
1.2.2 四种命题及其关系
- 原命题： 若p，则q。
- 逆命题： 若q，则p。
- 否命题： 若¬p，则¬q。
- 逆否命题： 若¬q，则¬p。
- 命题间的关系：
1.2.3 充分条件、必要条件、充要条件
- 充分条件： 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
- 必要条件： 若q ⇒ p，则p是q的必要条件，q是p的充分条件。
- 充要条件： 若p ⇔ q，则p是q的充要条件，q是p的充要条件。
1.2.4 全称量词与存在量词
- 全称量词： ∀（任意）。例如：∀x ∈ A，p(x) 表示集合A中所有元素x都满足p(x)。
- 存在量词： ∃（存在）。例如：∃x ∈ A，p(x) 表示集合A中至少存在一个元素x满足p(x)。
- 全称命题的否定： ¬(∀x ∈ A，p(x)) ≡ ∃x ∈ A，¬p(x)
- 存在命题的否定： ¬(∃x ∈ A，p(x)) ≡ ∀x ∈ A，¬p(x)
二、 函数的概念与基本初等函数
2.1 函数的概念
2.1.1 函数的定义
- 定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
- 定义域： 集合A称为函数的定义域。
- 值域： {y | y = f(x), x ∈ A} 称为函数的值域。
- 对应关系： f是函数的核心，确定了输入和输出之间的关系。
2.1.2 函数的表示方法
- 解析式法： 用数学公式表示函数关系。
- 图像法： 用图像直观地表示函数关系。
- 列表法： 列出函数对应关系的表格。
2.1.3 函数的性质
- 单调性：
- 单调递增： 若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
- 单调递减： 若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
- 奇偶性：
- 奇函数： f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
- 偶函数： f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
- 周期性： 存在常数T，使得f(x+T) = f(x)。
2.2 基本初等函数
2.2.1 指数函数
- 定义： y = ax (a > 0, a ≠ 1)
- 图像与性质：
- a > 1：单调递增，值域(0, +∞)，过定点(0, 1)。
- 0 < a < 1：单调递减，值域(0, +∞)，过定点(0, 1)。
2.2.2 对数函数
- 定义： y = logax (a > 0, a ≠ 1)
- 图像与性质：
- a > 1：单调递增，值域(-∞, +∞)，过定点(1, 0)。
- 0 < a < 1：单调递减，值域(-∞, +∞)，过定点(1, 0)。
- 对数运算性质：
- loga(MN) = logaM + logaN
- loga(M/N) = logaM - logaN
- logaMn = nlogaM
- 换底公式：logab = (logcb) / (logca)
2.2.3 幂函数
- 定义： y = xα (α ∈ R)
- 图像与性质： 随着α的取值不同，图像和性质也不同，需要根据具体α值分析。常见：y = x, y = x2, y = x3, y = 1/x, y = √x
2.2.4 函数的应用
- 函数与方程： 利用函数的图像和性质求方程的解。
- 函数的实际应用： 建立函数模型解决实际问题。
- 函数模型的建立： 理解题意，选取合适的变量，建立函数关系式。
