《高一必修一数学第一章思维导图》
一、 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
- 定义： 具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
- 元素： 构成集合的每个对象叫做该集合的元素。
- 集合的表示方法：
- 列举法：将集合的所有元素一一列举出来，写在大括号内。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。
{x | p(x)}其中p(x)表示x所满足的性质。 - Venn图法：用封闭曲线的内部来表示集合。
- 元素与集合的关系：
- 属于：记作 ∈
- 不属于：记作 ∉
- 集合的性质：
- 确定性：集合中的元素必须是确定的。
- 互异性：集合中的元素必须是互不相同的。
- 无序性：集合中的元素之间没有顺序关系。
- 常用数集及其记法：
- 自然数集：N
- 正整数集：N* 或 N+
- 整数集：Z
- 有理数集：Q
- 实数集：R
1.1.2 集合间的基本关系
- 子集： 对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
- 真子集： 如果 A ⊆ B，且存在元素 x ∈ B，但 x ∉ A，那么称集合 A 为集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
- 空集： 不含任何元素的集合叫做空集，记作 Ø。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
- 集合相等： 如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则 A = B。
- 子集个数问题： 对于含有 n 个元素的集合，其子集个数为 2^n，真子集个数为 2^n - 1，非空子集个数为 2^n - 1，非空真子集个数为 2^n - 2。
1.1.3 集合的基本运算
- 并集： 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 A ∪ B，即 A ∪ B = {x | x ∈ A, 或 x ∈ B}。
- 交集： 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩ B，即 A ∩ B = {x | x ∈ A, 且 x ∈ B}。
- 全集： 包含所有研究对象的集合叫做全集，通常记作 U。
- 补集： 由全集 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 ∁uA，即 ∁uA = {x | x ∈ U, 且 x ∉ A}。
- 运算性质：
- A ∪ Ø = A
- A ∩ Ø = Ø
- A ∪ A = A
- A ∩ A = A
- A ∪ U = U
- A ∩ U = A
- A ∪ ∁uA = U
- A ∩ ∁uA = Ø
- ∁u(∁uA) = A
- ∁u(A ∪ B) = (∁uA) ∩ (∁uB)
- ∁u(A ∩ B) = (∁uA) ∪ (∁uB)
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题
- 定义： 可以判断真假的语句叫做命题。
- 真命题： 判断为真的命题。
- 假命题： 判断为假的命题。
- 逻辑联结词：
- “或”(∨)：p∨q, p,q 至少有一个为真，则 p∨q 为真；p,q 均为假，则 p∨q 为假。
- “且”(∧)：p∧q, p,q 均为真，则 p∧q 为真；p,q 至少有一个为假，则 p∧q 为假。
- “非”(¬)：¬p, p为真，则 ¬p 为假；p为假，则 ¬p 为真。
- 简单命题与复合命题：
- 不含逻辑联结词的命题是简单命题。
- 含有逻辑联结词的命题是复合命题。
1.2.2 四种命题及其关系
- 原命题： 若 p, 则 q。
- 逆命题： 若 q, 则 p。
- 否命题： 若 ¬p, 则 ¬q。
- 逆否命题： 若 ¬q, 则 ¬p。
- 关系：
- 原命题与逆否命题互为等价命题。
- 逆命题与否命题互为等价命题。
1.2.3 全称量词与存在量词
- 全称量词： 短语 “所有的”、“任意一个” 等，用符号 ∀ 表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。
- 全称命题 p：∀x ∈ M, p(x)。
- 全称命题 p 的否定 ¬p：∃x ∈ M, ¬p(x)。
- 存在量词： 短语 “存在一个”、“至少有一个” 等，用符号 ∃ 表示。含有存在量词的命题，叫做存在命题。
- 存在命题 p：∃x ∈ M, p(x)。
- 存在命题 p 的否定 ¬p：∀x ∈ M, ¬p(x)。
1.2.4 充分条件与必要条件
- 充分条件： 如果 p ⇒ q, 则 p 是 q 的充分条件。
- 必要条件： 如果 p ⇒ q, 则 q 是 p 的必要条件。
- 充要条件： 如果 p ⇔ q, 则 p 是 q 的充要条件。 (等价条件)
二、总结
第一章主要学习了集合和常用逻辑用语两个部分。理解集合的概念和运算，能够进行集合的表示和集合间关系的判断是基础。 熟练掌握常用逻辑用语，尤其是四种命题之间的关系，全称命题和特称命题的否定，充分条件和必要条件，对后续数学学习至关重要，也是高考重点考察内容。 务必通过大量的练习来巩固所学知识，并注意灵活运用。