《高一数学必修二第二章思维导图》

一、空间几何初步

1.1 空间几何体的结构特征

1.1.1 柱体

• 定义： 由一个平面移动形成，上下两个平面互相平行且相等，侧面为平行四边形或矩形。
• 分类：
  • 直柱体： 侧棱垂直于底面的柱体。
  • 斜柱体： 侧棱不垂直于底面的柱体。
  • 正棱柱： 底面是正多边形的直棱柱。
• 性质：
  • 侧棱平行且相等。
  • 上下底面平行且相等。
  • 直柱体的侧棱长等于高。

1.1.2 锥体

• 定义： 由一个平面缩成一个点，底面是一个多边形，侧面是三角形。
• 分类：
  • 棱锥： 底面是多边形的锥体。
  • 正棱锥： 底面是正多边形，且顶点在底面上的射影是底面中心。
• 性质：
  • 顶点与底面多边形的各顶点连线构成棱。
  • 正棱锥的侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形。

1.1.3 台体

• 定义： 由一个平面缩成一个平面，上下两个平面互相平行，且底面是相似的多边形。
• 分类：
  • 棱台： 由棱锥截得的台体。
  • 正棱台： 由正棱锥截得的台体。
• 性质：
  • 上下底面平行。
  • 上下底面相似。
  • 侧棱延长线交于一点。

1.1.4 球体

• 定义： 到定点的距离等于定长的点的集合。
• 要素： 球心，半径。
• 性质： 球面上任意两点之间的距离小于或等于连接这两点的线段的长度。

1.1.5 旋转体

• 定义： 由一个平面图形绕一条直线旋转一周形成的几何体。
• 类型：
  • 圆柱： 矩形绕一条边旋转。
  • 圆锥： 直角三角形绕一条直角边旋转。
  • 圆台： 直角梯形绕垂直于底边的腰旋转。
  • 球： 半圆绕直径旋转。

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 三视图

• 定义： 从正面、侧面、上面三个方向观察物体所得的投影图。
  • 正视图（主视图）： 从正面观察。
  • 侧视图（左视图）： 从左侧观察。
  • 俯视图： 从上面观察。
• 原则：
  • “长对正，高平齐，宽相等”。
  • 看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示。
• 应用： 由三视图还原空间几何体。

1.2.2 直观图

• 斜二测画法： 一种常用的画立体图形的方法。
• 步骤：
  • 建立坐标系：O'x'y'z'，通常z'轴竖直向上，x'轴水平向右。
  • 画底面：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半。
  • 画高度：垂直于底面的线段长度不变。
  • 擦去辅助线，加深轮廓线。

1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3.1 表面积

• 柱体：
  • S = 2 * S_底 + S_侧
• 锥体：
  • S = S_底 + S_侧
• 台体：
  • S = S_上底 + S_下底 + S_侧
• 球体：
  • S = 4πR^2 (R为球的半径)

1.3.2 体积

• 柱体：
  • V = S_底 * h (h为高)
• 锥体：
  • V = (1/3) S_底 h
• 台体：
  • V = (1/3) h (S_上底 + S_下底 + √(S_上底 * S_下底))
• 球体：
  • V = (4/3)πR^3 (R为球的半径)

二、点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 位置关系

• 点与线： 点在直线上，点不在直线上。
• 点与面： 点在平面内，点在平面外。
• 线与线：
  • 共面直线：
    • 相交直线： 有且只有一个公共点。
    • 平行直线： 没有公共点。
  • 异面直线： 不在同一个平面内的两条直线。
• 线与面：
  • 直线在平面内： 直线上所有点都在平面内。
  • 直线与平面相交： 有且只有一个公共点。
  • 直线与平面平行： 没有公共点。
• 面与面：
  • 相交平面： 有一条公共直线（交线）。
  • 平行平面： 没有公共点。

2.1.2 公理

• 公理1： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
• 公理2： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
• 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
• 公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2.1.3 推论

• 过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
• 过两条相交直线，有且只有一个平面。
• 如果两条平行直线中的一条直线在一个平面内，那么另一条直线也在此平面内。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行

• 判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.2.2 平面与平面平行

• 判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
• 性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直

• 定义： 如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直。
• 判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
• 性质定理： 如果两条直线都和同一个平面垂直，那么这两条直线平行。

2.3.2 平面与平面垂直

• 定义： 如果两个平面相交，且其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，那么就说这两个平面互相垂直。
• 判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
• 性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

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