《必修四数学思维导图》
一、三角函数
1.1 任意角、弧度制
- 1.1.1 角的概念的推广
- 定义：由一条射线绕其端点旋转形成的图形
- 分类：
- 正角：逆时针旋转
- 负角：顺时针旋转
- 零角：不旋转
- 象限角：角的终边所在的象限决定
- 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可表示为 α + k·360° (k∈Z)
- 1.1.2 弧度制
- 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角
- 换算：
- 180° = π rad
- 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
- 弧长公式：l = |α|r
- 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
1.2 三角函数的定义
- 1.2.1 定义
- 在平面直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)
- 正弦：sinα = y
- 余弦：cosα = x
- 正切：tanα = y/x (x≠0)
- 1.2.2 各象限符号
- 一全正：sin, cos, tan > 0
- 二正弦：sin > 0, cos, tan < 0
- 三正切：tan > 0, sin, cos < 0
- 四余弦：cos > 0, sin, tan < 0
- 1.2.3 同角三角函数关系
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα ≠ 0)
1.3 三角函数的诱导公式
- 1.3.1 公式一到公式六
- 公式一：sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα (k∈Z)
- 公式二：sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
- 公式三：sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
- 公式四：sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
- 公式五：sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα
- 公式六：sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα
- 1.3.2 口诀：奇变偶不变，符号看象限
1.4 三角函数的图像与性质
- 1.4.1 正弦函数 y = sinx
- 图像：正弦曲线
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在 [-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增，在 [(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减
- 对称性：关于点 (kπ, 0) (k∈Z) 对称，关于直线 x = (π/2) + kπ (k∈Z) 对称
- 1.4.2 余弦函数 y = cosx
- 图像：余弦曲线
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：偶函数
- 单调性：在 [2kπ, π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增
- 对称性：关于点 ((π/2) + kπ, 0) (k∈Z) 对称，关于直线 x = kπ (k∈Z) 对称
- 1.4.3 正切函数 y = tanx
- 图像：正切曲线
- 定义域：{x | x ≠ (π/2) + kπ, k∈Z}
- 值域：R
- 周期性：T = π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在 (-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k∈Z) 上单调递增
- 无对称轴，关于点 (kπ, 0) (k∈Z) 对称
- 1.4.4 函数 y = Asin(ωx + φ)
- 振幅：|A|
- 周期：T = 2π/|ω|
- 频率：f = |ω|/2π
- 相位：ωx + φ
- 初相：φ
1.5 三角恒等变换
- 1.5.1 和角公式
- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
- tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
- 1.5.2 差角公式
- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
- tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
- 1.5.3 倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
- 1.5.4 半角公式（了解）
- 1.5.5 万能公式（了解）
- 1.5.6 和差化积、积化和差（了解）
二、平面向量
2.1 平面向量的概念及线性运算
- 2.1.1 向量的概念
- 定义：既有大小又有方向的量
- 表示：用有向线段表示
- 零向量：大小为零的向量，方向任意，记作 0
- 单位向量：模为 1 的向量
- 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
- 相等向量：大小相等且方向相同的向量
- 2.1.2 向量的加法
- 三角形法则
- 平行四边形法则
- 运算律：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 2.1.3 向量的减法
- 三角形法则
- a - b = a + (-b)
- 2.1.4 向量的数乘
- 定义：λa，|λa| = |λ||a|
- 运算律：
- λ(μa) = (λμ)a
- (λ + μ)a = λa + μa
- λ(a + b) = λa + λb
- 2.1.5 平面向量的基本定理
- 定理：如果e₁、e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ₁、λ₂，使得 a = λ₁e₁ + λ₂e₂
- e₁、e₂称为一组基底
2.2 平面向量的坐标表示
- 2.2.1 平面向量的坐标表示
- 定义：在直角坐标系中，以 x 轴和 y 轴上的单位向量 i、j 分别作为基底，则 a = xi + yj，记作 a = (x, y)，(x, y) 称为 a 的坐标
- 2.2.2 向量的线性运算的坐标表示
- a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
- a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
- a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
- λa = (λx₁, λy₁)
- 2.2.3 向量共线的坐标表示
- a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
- a // b <=> x₁y₂ - x₂y₁ = 0
2.3 平面向量的数量积
- 2.3.1 数量积的定义
- 定义：a · b = |a||b|cosθ，θ为 a 与 b 的夹角
- 2.3.2 数量积的性质
- a · b = b · a
- a · a = |a|²
- a ⊥ b <=> a · b = 0
- |a · b| ≤ |a||b|
- 2.3.3 数量积的坐标表示
- a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
- a · b = x₁x₂ + y₁y₂
- 2.3.4 向量的模和夹角
- |a| = √(x₁² + y₁²)
- cosθ = (a · b) / (|a||b|) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²)√(x₂² + y₂²))
三、三角函数的应用
3.1 用向量方法解决简单几何问题
- 3.1.1 平行与垂直的判定
- 3.1.2 距离的计算
- 3.1.3 角度的计算
- 3.1.4 证明几何问题
3.2 应用举例
- 3.2.1 实际问题中的三角函数模型
- 3.2.2 解三角形
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
- 余弦定理：a² = b² + c² - 2bccosA
- 解三角形类型：已知两角一边，已知两边一角，已知三边
这个思维导图包含了必修四数学的主要知识点，并进行了分层级的组织。 需要注意的是，实际使用时，可以根据自己的理解和学习习惯进行调整和补充，例如，可以将每个知识点下的公式、定理、例题等进一步细化。 同时，“了解”部分的知识点，也需要根据实际情况进行学习。