高中数学必修1思维导图

# 《高中数学必修1思维导图》

## I. 集合与常用逻辑用语

### A. 集合

#### 1. 集合的概念

*   **定义:** 一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，简称集。
*   **元素:** 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
*   **性质:**
    *   **确定性:** 元素是否属于集合必须是确定的。
    *   **互异性:** 集合中的元素必须是不同的。
    *   **无序性:** 集合中的元素没有顺序关系。
*   **表示法:**
    *   **列举法:** 将集合的元素一一列举出来，用花括号括起来。
    *   **描述法:** 用集合所具有的性质描述集合，用花括号括起来。例如：{x|x>3}。
    *   **Venn图法:** 用图形表示集合。

#### 2. 集合间的基本关系

*   **子集:** 对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
*   **真子集:** 如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
*   **空集:** 不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
*   **相等:** 如果A⊆B且B⊆A，则A=B。

#### 3. 集合的基本运算

*   **并集:** 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B。 A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
*   **交集:** 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B。 A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
*   **补集:** 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，叫做A相对于全集U的补集，记作∁UA。∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。

### B. 常用逻辑用语

#### 1. 命题

*   **定义:** 可以判断真假的语句称为命题。
*   **分类:**
    *   **简单命题:** 不含有其他命题作为成分的命题。
    *   **复合命题:** 由简单命题通过逻辑联结词构成的命题。

#### 2. 逻辑联结词

*   **或 (∨):** p∨q，只要p、q中至少有一个为真，则p∨q为真；当p、q均为假时，p∨q为假。
*   **且 (∧):** p∧q，当p、q均为真时，p∧q为真；只要p、q中至少有一个为假，则p∧q为假。
*   **非 (¬):** ¬p，若p为真，则¬p为假；若p为假，则¬p为真。

#### 3. 全称量词与存在量词

*   **全称量词 (∀):** 表示“所有”、“任意”等含义。含有全称量词的命题称为全称命题。
*   **存在量词 (∃):** 表示“存在”、“至少有一个”等含义。含有存在量词的命题称为特称命题。
*   **全称命题的否定:**  ∀x，p(x) 的否定是 ∃x，¬p(x)。
*   **特称命题的否定:**  ∃x，p(x) 的否定是 ∀x，¬p(x)。

#### 4. 充分条件、必要条件、充要条件

*   **充分条件:** 若p⇒q（p是q的充分条件），则p是q的充分条件。即如果p成立，那么q一定成立。
*   **必要条件:** 若p⇐q（p是q的必要条件），则p是q的必要条件。即如果q成立，那么p一定成立。
*   **充要条件:** 若p⇔q（p是q的充要条件），则p是q的充要条件。即p成立当且仅当q成立。
*   **判定方法:** 通常通过分析p和q之间的逻辑关系，或者将条件转化为集合关系进行判断。

## II. 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)

### A. 函数的概念与表示

#### 1. 函数的定义

*   **定义:** 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
*   **自变量:** x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。
*   **函数值:** 与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

#### 2. 函数的表示法

*   **解析法:** 用数学表达式（含有自变量和因变量的等式）表示函数关系。
*   **列表法:** 将函数的一些对应值列成表格来表示函数关系。
*   **图像法:** 用坐标系中的图形来表示函数关系。

#### 3. 函数的定义域、值域的求法

*   **定义域:** 使得函数有意义的自变量x的取值范围。需要考虑：分母不为零，偶次根式下非负，对数真数为正，零指数幂底数不为零等。
*   **值域:** 函数值f(x)的取值范围。常用方法：配方法、换元法、分离常数法、不等式法、单调性法、导数法等。

### B. 函数的基本性质

#### 1. 单调性

*   **定义:**
    *   **增函数:** 在区间D上，如果当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数。
    *   **减函数:** 在区间D上，如果当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数。
*   **判定方法:**
    *   **定义法:**  取值、作差、变形、定号。
    *   **导数法:**  f'(x) > 0 时为增函数,  f'(x) < 0 时为减函数。

#### 2. 奇偶性

*   **定义:**
    *   **奇函数:** 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。奇函数的图像关于原点对称。
    *   **偶函数:** 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。
*   **判定方法:**
    *   **定义法:** 验证f(-x)与f(x)的关系。
    *   **图像法:** 观察图像是否关于原点或y轴对称。
    *   **复合函数:** “奇+奇=奇”，“偶+偶=偶”，“奇×奇=偶”，“偶×偶=偶”，“奇×偶=奇”。

#### 3. 函数的对称性与周期性

*   **对称性:**
    *   **关于直线x=a对称:** f(a+x)=f(a-x)
    *   **关于点(a,0)对称:** f(a+x) + f(a-x) = 0
*   **周期性:** 如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期。

### C. 基本初等函数(Ⅰ)

#### 1. 指数函数

*   **定义:** 函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数。
*   **图像与性质:** 根据a>1和0<a<1分类讨论。
    *   a>1时，函数为增函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。
    *   0<a<1时，函数为减函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。

#### 2. 对数函数

*   **定义:** 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做对数函数。
*   **图像与性质:** 根据a>1和0<a<1分类讨论。
    *   a>1时，函数为增函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
    *   0<a<1时，函数为减函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
*   **常用对数:** log10x 记作 lg x。
*   **自然对数:** logex 记作 ln x。
*   **对数的运算性质:** loga(MN)=logaM+logaN, loga(M/N)=logaM-logaN, logaMn=nlogaM。
*   **换底公式:** logab=logcb/logca

#### 3. 幂函数

*   **定义:** 函数y=xα (α∈R)叫做幂函数。
*   **图像与性质:** 根据α的不同取值，图像及性质有很大差异，需要掌握几种常见的幂函数的图像（如y=x, y=x2, y=x3, y=x1/2, y=x-1）。

## III. 函数的应用

### A. 函数与方程

#### 1. 方程的根与函数的零点

*   **零点:** 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
*   **方程的根与函数的零点的关系:** 方程f(x)=0有实数根 ⇔ 函数y=f(x)有零点 ⇔ 函数y=f(x)的图像与x轴有交点。

#### 2. 二分法

*   **原理:** 通过不断将含有零点的区间一分为二，逐步逼近零点的方法。
*   **适用条件:** 函数在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0。
*   **步骤:** 确定区间，求中点，计算函数值，判断区间，重复上述步骤。

#### 3. 函数模型及其应用

*   **常见函数模型:** 一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型等。
*   **应用步骤:**
    1.  审题，理解题意，理清各量之间的关系。
    2.  建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
    3.  求解数学模型，得到数学结论。
    4.  将数学结论还原为实际问题的答案。

《高中数学必修1思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

A. 集合

1. 集合的概念

定义: 一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，简称集。
元素: 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
性质:
- 确定性: 元素是否属于集合必须是确定的。
- 互异性: 集合中的元素必须是不同的。
- 无序性: 集合中的元素没有顺序关系。
表示法:
- 列举法: 将集合的元素一一列举出来，用花括号括起来。
- 描述法: 用集合所具有的性质描述集合，用花括号括起来。例如：{x|x>3}。
- Venn图法: 用图形表示集合。

2. 集合间的基本关系

子集: 对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
真子集: 如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
空集: 不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
相等: 如果A⊆B且B⊆A，则A=B。

3. 集合的基本运算

并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B。 A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B。 A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
补集: 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，叫做A相对于全集U的补集，记作∁UA。∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。

B. 常用逻辑用语

1. 命题

定义: 可以判断真假的语句称为命题。
分类:
- 简单命题: 不含有其他命题作为成分的命题。
- 复合命题: 由简单命题通过逻辑联结词构成的命题。

2. 逻辑联结词

或 (∨): p∨q，只要p、q中至少有一个为真，则p∨q为真；当p、q均为假时，p∨q为假。
且 (∧): p∧q，当p、q均为真时，p∧q为真；只要p、q中至少有一个为假，则p∧q为假。
非 (¬): ¬p，若p为真，则¬p为假；若p为假，则¬p为真。

3. 全称量词与存在量词

全称量词 (∀): 表示“所有”、“任意”等含义。含有全称量词的命题称为全称命题。
存在量词 (∃): 表示“存在”、“至少有一个”等含义。含有存在量词的命题称为特称命题。
全称命题的否定: ∀x，p(x) 的否定是 ∃x，¬p(x)。
特称命题的否定: ∃x，p(x) 的否定是 ∀x，¬p(x)。

4. 充分条件、必要条件、充要条件

充分条件: 若p⇒q（p是q的充分条件），则p是q的充分条件。即如果p成立，那么q一定成立。
必要条件: 若p⇐q（p是q的必要条件），则p是q的必要条件。即如果q成立，那么p一定成立。
充要条件: 若p⇔q（p是q的充要条件），则p是q的充要条件。即p成立当且仅当q成立。
判定方法: 通常通过分析p和q之间的逻辑关系，或者将条件转化为集合关系进行判断。

II. 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)

A. 函数的概念与表示

1. 函数的定义

定义: 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
自变量: x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。
函数值: 与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

2. 函数的表示法

解析法: 用数学表达式（含有自变量和因变量的等式）表示函数关系。
列表法: 将函数的一些对应值列成表格来表示函数关系。
图像法: 用坐标系中的图形来表示函数关系。

3. 函数的定义域、值域的求法

定义域: 使得函数有意义的自变量x的取值范围。需要考虑：分母不为零，偶次根式下非负，对数真数为正，零指数幂底数不为零等。
值域: 函数值f(x)的取值范围。常用方法：配方法、换元法、分离常数法、不等式法、单调性法、导数法等。

B. 函数的基本性质

1. 单调性

定义:
- 增函数: 在区间D上，如果当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数。
- 减函数: 在区间D上，如果当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数。
判定方法:
- 定义法: 取值、作差、变形、定号。
- 导数法: f'(x) > 0 时为增函数, f'(x) < 0 时为减函数。

2. 奇偶性

定义:
- 奇函数: 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。奇函数的图像关于原点对称。
- 偶函数: 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。
判定方法:
- 定义法: 验证f(-x)与f(x)的关系。
- 图像法: 观察图像是否关于原点或y轴对称。
- 复合函数: “奇+奇=奇”，“偶+偶=偶”，“奇×奇=偶”，“偶×偶=偶”，“奇×偶=奇”。

3. 函数的对称性与周期性

对称性:
- 关于直线x=a对称: f(a+x)=f(a-x)
- 关于点(a,0)对称: f(a+x) + f(a-x) = 0
周期性: 如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期。

C. 基本初等函数(Ⅰ)

1. 指数函数

定义: 函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数。
图像与性质: 根据a>1和0<a<1分类讨论。
- a>1时，函数为增函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。
- 0<a<1时，函数为减函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。

2. 对数函数

定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做对数函数。
图像与性质: 根据a>1和0<a<1分类讨论。
- a>1时，函数为增函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
- 0<a<1时，函数为减函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
常用对数: log10x 记作 lg x。
自然对数: logex 记作 ln x。
对数的运算性质: loga(MN)=logaM+logaN, loga(M/N)=logaM-logaN, logaMn=nlogaM。
换底公式: logab=logcb/logca

3. 幂函数

定义: 函数y=xα (α∈R)叫做幂函数。
图像与性质: 根据α的不同取值，图像及性质有很大差异，需要掌握几种常见的幂函数的图像（如y=x, y=x2, y=x3, y=x1/2, y=x-1）。

III. 函数的应用

A. 函数与方程

1. 方程的根与函数的零点

零点: 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程的根与函数的零点的关系: 方程f(x)=0有实数根 ⇔ 函数y=f(x)有零点 ⇔ 函数y=f(x)的图像与x轴有交点。

2. 二分法

原理: 通过不断将含有零点的区间一分为二，逐步逼近零点的方法。
适用条件: 函数在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0。
步骤: 确定区间，求中点，计算函数值，判断区间，重复上述步骤。

3. 函数模型及其应用

常见函数模型: 一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型等。
应用步骤:
1. 审题，理解题意，理清各量之间的关系。
2. 建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
3. 求解数学模型，得到数学结论。
4. 将数学结论还原为实际问题的答案。

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